Aufgabe:
Problem/Ansatz:
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In dieser Aufgabe betrachten wir den Rotationskörper, der durch Rotation von dem Graphen der Funktion \( f:[0, b] \rightarrow[0, \infty), f(x)=\frac{\sqrt{5} \cdot x^{2}}{3 \cdot \sqrt{\pi}} \) um die \( \mathrm{x} \)-Achse entsteht. Das Volumen dieses Körpers berechnet sich durch \( V=\pi \int \limits_{0}^{b} f(x)^{2} d x \).
a) Geben Sie die Stammfunktion von \( f(x)^{2} \) an.
b) Bestimmen Sie \( b \), sodass das Volumen des Körpers \( V=\frac{32}{9} \) ist.
\( b= \)
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a) Wenden Sie partielle Integration an, um das folgende Integral zu berechnen.
\( \begin{array}{l} \int \limits_{1}^{3} 7 x^{3} \ln (x) d x=\left.\square\right|_{1} ^{3}-\int \limits_{1}^{3} \\ d x=\square \end{array} \)
b) Wenden sie zweimal partielle Integration an, um das folgende Integral zu bestimmen.
\( \begin{array}{r} \int e^{x} \cos (x) d x=\square d x \\ =\square d x \\ \square-\int \end{array} \)
Daraus folgern wir
\( \int e^{x} \cos (x) d x=\square, c \in \mathbb{R} . \)
Hinweis: \( \ln (x) \) können Sie als \( \ln (x) \) eingeben.
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Bestimmen Sie die folgenden Integrale und geben Sie im Zwischenschritt die jeweilige Stammfunktion an.
a) \( \int \limits_{-2}^{-1} \frac{1}{5 \cdot x} d x= \) \( \left.\right|_{-2} ^{-1}= \)
b) \( \int \limits_{1}^{2} 7 \cdot e^{-3 \cdot x}+\frac{3}{x^{3}} d x= \) \( \left.\right|_{1} ^{2}= \)
c) \( \int \limits_{0}^{6} \frac{1}{\sqrt{4 \cdot x+1}} d x= \) \( \left.\right|_{0} ^{6}= \)
d) \( \int \limits_{-5}^{5} \frac{1}{7 \cdot\left(x^{2}+1\right)} d x= \) \( \left.\right|_{-5} ^{5}= \)
Hinweis: Den Betrag, \( |x| \) können Sie als abs( \( x \) ) oder \( |x| \) angeben.
