Mit partieller Integration Stammfunktion bilden

Question

Mittlers partieller Integration soll ich eine Stammfunktion zu

f(x) = sin x * cos x

berechnen.

Rechenweg:
f(x) umgeschrieben zu f(x) = cos x * sin x (weil ich sin x ableiten möchte und nicht cos x)

Normale partielle Integrationsformel lautet ja folgendermaßen:
\( \int\limits_{}^{} \) f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - \( \int\limits_{}^{} \) f(x)g'(x)dx

Also habe ich als g(x) = sin x, als g'(x) = cos x, als f'(x) = cos x und als f(x) = sin x

Nun müsste ich es in die Formel noch einsetzen und kürzen, aber irgendwo ist nen Fehler:

\( \int\limits_{}^{} \) cos x * sin x = sin x * sin x - \( \int\limits_{}^{} \) sin x * cos dx

= sin x * sin x - (-cos x) * sin x = ...

Answer 1

Aloha :)

Ist hier partielle Integration vorgegeben?

Das Integral ist von der Form:$$\int \underbrace{f'(x)}_{\cos x}\cdot \underbrace{f(x)}_{\sin x}\,dx=\frac12\,\underbrace{f^2(x)}_{\sin^2x}+C$$und kann daher sofort hingeschrieben werden:$$\int\cos x\cdot\sin x\,dx=\frac12\sin^2x+C$$

Wenn diese Methode nicht bekannt ist, hier die partielle Integration:$$\int\underbrace{\cos x}_{u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{v}\,dx=\underbrace{\sin x}_{u}\cdot\underbrace{\sin x}_{v}+C-\int\underbrace{\sin x}_{u}\cdot\underbrace{\cos x}_{v'}\,dx$$Jetzt steht rechts dasselbe Integral wie links. Wir brigen es auf die andere Seite:$$2\int\cos x\cdot\sin x\,dx=\sin^2x+C$$und dividieren durch \(2\)$$\int\cos x\cdot\sin x\,dx=\frac12\sin^2x+C$$

Comments

Hey,

danke für die ausführliche Antwort! Die partielle Integration ist vorgegeben, ja.
Also war mein Ansatz doch richtig?

Weil bis hierhin hatte ich ja dasselbe

Wenn diese Methode nicht bekannt ist, hier die partielle Integration:∫cosx⏟u′⋅sinx⏟v dx=sinx⏟u⋅sinx⏟v+C−∫sinx⏟u⋅cosx⏟v′ dx\int\underbrace{\cos x}_{u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{v}\,dx=\underbrace{\sin x}_{u}\cdot\underbrace{\sin x}_{v}+C-\int\underbrace{\sin x}_{u}\cdot\underbrace{\cos x}_{v'}\

Allerdings komme ich von da an nicht mehr weiter :/
Wenn man dasselbe Integral auf der rechten Seite nach rechts "bringt", fällt das nicht komplett weg?
Und wieso wurde durch 2 dividiert am Ende?

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Nein, es fällt nicht weg, weil auf der rechten Seite ja ein Minuszeichen vor dem Integral steht. Wenn du dieses Integral auf beiden Seiten der Gleichung addierst, verdoppelt es sich auf der linken Seite und fällt auf der rechten Seite weg.

Deswegen muss am Ende auch durch 2 dividiert werden, denn links steht ja der Faktor 2 vor dem eigentlich gesuchten Integral.

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Edit, Frage geklärt. Vielen Dank!