Integralrechnung (Partielle integration)

Question

was mache ich falsch?

Mein Rechenweg (ich habe 6x mit u substituiert und danach partiell integriert): \( f(x)=\sin (6 x)^{2} \)
\( \frac{1}{6}\left(-\cos (u) \cdot \sin (u)+\int \cos ^{2}(u)\right. \)
\( \frac{1}{6}\left(-\cos (v) \cdot \sin (v)+\int 1-\sin ^{2}(x)\right) \)
\( \frac{1}{6} \int \sin (u)^{2}=\frac{1}{6}\left(-\cos (u) \cdot \sin (u)+\int 1-sin ^{2}(x)\right) \)
\( \frac{7}{6} \int \sin ^{2}(u)=\frac{1}{6}(-\cos (u) \cdot \sin (u)+u) /: 7 \)
\( \frac{1}{6} \int \operatorname{sin}^{2}(u)=\frac{\frac{1}{6}(-\cos (6 x) \cdot \sin (6 x)+6 x)}{7} \)

danke für jede Hilfe

Answer 1

Aloha :)

$$\int\sin^2(6x)\,dx=\int\underbrace{\sin(6x)}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin(6x)}_{=v}\,dx$$$$\phantom{\int\sin^2(6x)\,dx}=\underbrace{-\frac{1}{6}\cos(6x)}_{=u}\cdot\underbrace{\sin(6x)}_{=v}-\int\underbrace{\left(-\frac{1}{6}\cos(6x)\right)}_{=u}\cdot\underbrace{6\cos(6x)}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{\int\sin^2(6x)\,dx}=-\frac{1}{6}\underbrace{\cos(6x)\cdot\sin(6x)}_{=\frac{1}{2}\sin(12x)}+\int\underbrace{\cos(6x)\cdot\cos(6x)}_{=\cos^2(6x)=1-\sin^2(6x)}\,dx$$$$\phantom{\int\sin^2(6x)\,dx}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\sin(12x)+\int\left(1-\sin^2(6x)\right)\,dx$$$$\phantom{\int\sin^2(6x)\,dx}=-\frac{1}{12}\sin(12x)+\int 1\,dx-\int\sin^2(6x)\,dx$$$$\phantom{\int\sin^2(6x)\,dx}=-\frac{1}{12}\sin(12x)+x+\text{const}-\int\sin^2(6x)\,dx$$Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung das Integral und finden:$$2\int\sin^2(6x)\,dx=-\frac{1}{12}\sin(12x)+x+\text{const}$$$$\int\sin^2(6x)\,dx=-\frac{1}{24}\sin(12x)+\frac{x}{2}+\text{const}$$

Comments

danke das hat mir sehr geholfen! :)

Answer 2

Hallo,

substituiere z=6x

dann bekommst Du:

=1/6∫ sin^2(z) dz

sin^2(z)=1/2 (1 -cos(2z)

usw.

das geht ohne part.Integration, kannst aber an dieser Stelle auch part. integrieren.

Answer 3

Leite dein F(x) ab und du siehst, das es nicht stimmen kann:

https://www.integralrechner.de/