Formel zum Poisson-Prozess

Question

versteht ihr vielleicht, wie man hierauf kommt:

Für einen Poisson-Prozess (N(t))_t≥0 zum Parameter λ>0 gilt:

$$P(N(3t)-N(2t)=0)=e^{-\lambda t}$$

VG

Answer 1

Der Poisson Prozess hat stationäre Zuwächse, also gilt $$ \mathbb{P} \{ N(t+s) - N(s) = n \} = \mathbb{P} \{ N(t) = n \} = e^{-\lambda t} \frac{ \left(\lambda t \right)^n }{ n! } $$ für alle \( s,t > 0 \)

Da bei Dir \( n = 0 \) gilt, folgt mit \( s = 2t \)

$$ \mathbb{P} \{ N(3t) - N(2t) = 0 \} = e^{-\lambda t} $$

D.h. im Intervall \( [2t , 3t ] \) tritt ein Ereigniss 0-mal auf mit Wahrscheinlichkeit \( e^{-\lambda t}  \) und diese Wahrscheinlichkeit ist genauso groß, wie dass Auftreten eines Ereignisses im Intervall \( [0,t] \)