Zerlege das Polynom in ein Produkt von linearen und quadratischen Faktoren

Question

Man zerlege das Polynom

X⁸+X⁶-X²-1
in R[X] als Produkt von linearen und quadratischen Faktoren, so dass die quadratischen Faktoren keine reellen Nullstellen haben


soll ich da polynomdivision machen? die erste Nullstelle müsste 1 sein. aber das ist doch eine reelle nullstelle oder?

Answer 1

rate Nullstellen und mach eine Polynomdivision. Nullstellen sind unter anderem x = -1 und x = 1. Weitere reelle Nullstellen gibt es nicht. Es gibt aber noch leicht zu erkennen die Nullstellen x = i und x = -i, was bedeutet, dass der quadratische Term x²+1 mit von der Partie ist. Damit kann man das Polynom bereits zerlegen zu:

x⁸ + x⁶ - x² - 1 = (x+1)(x-1)(x²+1)(x⁴+x²+1)

Letzteren Faktor kann man mit Subst. beikommen oder man erkennt wie er auszusehen hat. Man erhält letztlich:

(x+1)(x-1)(x²+1)(x²+x+1)(x²-x+1)

Grüße

Comments

könntest du das mit i und -i nochmal erklären bitte.. 

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Setz doch mal x = i ein, bzw. x = -i. Du wirst sehen, dass das Nullstellen sind.

Wisse auch, dass wenn Du eine komplexe Nullstelle hast, Du automatisch auch die komplex konjugierte hast ;).

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sieht die rechnung so aus?

i⁸+i⁶-i²-1 = (-1)⁴+(-1)³-(-1)-1=1-1+1-1=0

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komme ich so auf x²+1:

(x-i) und (x+i) sind Nullstellen, dann habe ich: (x-i)(x+i) = x²-i²=x²-(-1)=x²+1

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Yep genau, So sieht das aus :).

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vielen vielen dank, habs jetzt verstanden

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Das freut mich und gerne :).

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könntest du mir noch helfen wie ich von (x⁴+x²+1)auf  komme?

vielen dank

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Am einfachsten über die Erweiterung.

x⁴+x²+1 = x⁴+x²+1+x²-x² = x⁴+2x²+1 - x² = (x²+1)² - x²

Nun dritte binomische Formel anwenden und Du kommst auf obiges ;).

Alles klar?

Answer 2

Hier mal ein Anfang:

X⁸+X⁶-X²-1 

Substituition u = X²

X⁸+X⁶-X²-1 = u⁴ + u³ - u -1

Setzt man für u=1 ein, bekommt man 0.

Daher kannst du mit der Polynomdivision

(u⁴ + u³ - u -1):(u-1) anfangen und dann im Resultat die weiteren Nullstellen suchen.

Answer 3

Ja. Du zerlegst das zunächst über eine Polynomdivision. Oder eventuell eine Substitution z = x².

x⁸ + x⁶ - x² - 1 = (x + 1)·(x - 1)·(x² + 1)·(x² + x + 1)·(x² - x + 1)

Comments

vielen dank ihr alle :) das ging ja flott.... wie ist denn das mit nicht reell gemeint? heißt das nur das i und -i zugelassen sind als lösung?

danke

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Ja. Die Nullstellen der quadratischen Funktionen sollen nur komplex sein und nicht reel.

Das muss dabei nicht nur i und -i sein sondern könnten beliebige komplexe Zahlen sein.

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was mache ich dann mit der nullstelle 1 die ist ja reell und komplex sähe sie ja so aus: 0i+1?

zweite frage:

wieso muss ich (x² + x + 1)·(x² - x + 1)nicht weiter zerlegen?

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Du darfst ja quadratische Polynome als Faktoren haben solange diese keine eellen Nullstellen besitzen. Das tun die genannten Polynome nicht und deswegen zerlegt man sie nicht weiter.

Die reelle Nullstelle +1 gibt das lineare Polynom (x - 1) welches eine Nullstelle bei +1 hat.