Bestimme die Extremwerte für die Funktion: z=2yx^2+2xy^2+2xy+2/3y^3+y^2-4y

Question

Hallo liebe Leute,
Für die meisten hier wird es wahrscheinlich nicht die kniffeligste Aufgabe sein, aber ich bin leider, gerade was viele Basics angeht, im Moment noch ziemlich hinterher.

Die Aufgabe ist: Bestimme die Extremwerte für die Funktion: z=2yx^2+2xy^2+2xy+2/3y^3+y^2-4y

Die Lösungen sind laut Skript: SP(1/0), Max(1/-3), SP(-2/0), Min(-2/3)

Eigentlich dachte ich ich hätte das Prozedere so halbwegs verstanden. Meine Herangehensweise war bisher immer, einmal nach y partiell abzuleiten und einmal nach x . Das überfordert mich wenn ich ehrlich bin aber schon bei dieser komplexeren Funktion. Danach komme ich auch auf kein wirkliches Ergebnis, schon gar nicht auf eines welches mit den Lösungen übereinkommt;-). Des weiteren verstehe ich einfach nicht wie ich die Bedingungen für einen Sattelpunkt überprüfen kann.
Ich komme einfach bei dieser Aufgabe nicht weiter und wäre euch wirklich unendlich dankbar, wenn sich jemand die Mühe macht und einmal einen Lösungsweg oder Lösungsansätze zur Verfügung stellt:-).

Ich danke euch schon mal im Voraus,

Liebe Grüße,
David

Answer 1

Hi David,

ein paar Ansätze.

Bestimme den Gradienten, indem Du einmal die Funktion nach x ableitest (dafür wird y als konstant betrachtet) und einmal die Funktion nach y ableitest (x ist hier konstant). Das sollte und darf keine Schwierigkeiten bereiten. Hoffe Dir ist klar, dass das summandenweise betrachtet werden darf.

Überprüfe das mit der Hesse-Matrix. Dafür brauchst Du die zweite Ableitungen.

Grüße