f(xy)=x^2*(y-1)+y^3-3y Extremwerte bestimmen

Question

Aufgabe:

kann mir jemand helfen für diese Funktion : f(xy)=x^2*(y-1)+y^3-3y die Extremwerte zu  bestimmen.

Ich komme zwar auf die Partiellen Ableitungen jedoch fx= 2xy-2x und fy= x^2+3y^2-3.. anschließend muss ich die Funktionen gleich null setzen .. wie bekomme ich dann aber x und y raus.. kann mir da jemand helfen?

Answer 1

f(x, y) = x^2·(y - 1) + y^3 - 3·y

f'(x, y) = [2·x·(y - 1), x^2 + 3·y^2 - 3] = [0, 0]

2·x·(y - 1) = 0 --> x = 0 ∨ y = 1

Damit ergeben sich die Lösungen: (x = 0 ∧ y = -1) ∨ (x = 0 ∧ y = 1)

f''(0, -1) = [-4, 0; 0, -6] → Hochpunkt.

f''(0, 1) = [0, 0; 0, 6] → Minimum oder Sattelpunkt.

Comments

Wie bestimme ich die Nullstellen bei der Funktion fy= x^2+3y^2-3?

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Du weißt doch bereits das x = 0 ∨ y = 1 gelten muss also setzt du ein

für x = 0

0^2 + 3·y^2 - 3 = 0 --> y = -1 ∨ y = 1

für y = 1

x^2 + 3·1^2 - 3 = 0 --> x = 0

fertig.

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Vielen dank für die hilfreiche Antwort ! aber wie weiß ich ob es ein hochpunkt etc ist? also mir ist jetzt klar das ich meine Möglichen punkte in die hessematrix eintrage und somit werte bekomme. Aber woran erkenne ich was es für eine Art von Punkt is ( Extrema maximum/ Minimum, sattelpunkt?

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Merkzettel

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!207:Mehrdimensionale_Extremstellen

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Danke dir aber bei der zweiten Ableitung von f`(0,1)= ( 0 0 0 6 ) steht in meiner Lösung , dass es sich um einen Sattelpunkt handelt, kann es nicht aber auch ein  Minimum sein, da sie ja eigl. positiv definit ist ?

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oder gilt das als positiv semidefinit und darum kann es sein , dass die Funktion positiv semidefinit ist darum kann man nicht bestimmen das es 100% ein sattelpunkt ist und darum ist es entweder ein Minimum oder ein maximum

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Es ist erstmal positiv definit und damit könnte es ein Minimum oder ein Sattelpunkt sein. In diesem Fall ist es ein Sattelpunkt. Das müsste man dann genauer untersuchen. Die Definitheit allein erlaubt hier keine Aussage.

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Und wie bestimme ich das es ein Sattelpunkt ist :/

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Hast du mal den Abschnitt gelesen

Was, wenn die Hesse-Matrix semidefinit ist?

Da wird das erklärt wie man da vorgehen kann.

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ich verstehe nicht wie das mit f (b) gemeint wird in der Erklärung.. kannst du mir das vielleicht bitte an meinem Beispiel erklären

Answer 2

fx= 2xy -2x= 2x(y-1) =0

Satz von Nullprodukt:

a) 2x=0 ->x₁=0

b)y-1=0 -->y1= 1

in die andere Gleichung einsetzen

0=x^2+3y^2-3

usw.

Comments

Und wie gehe ich vor bei der Funktion fy ?

fy= x^2+3y^2-3 ?

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0= x^2+3y^2-3

0= 3y^2-3

3=3y^2

1=y^2

y_1.2=± 1

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danke dir :)