1.) Ist ℂ ein Vektorraum über ℂ?
Jeder Körper \(K\) kann als \(K\)-Vektorraum aufgefasst werden, indem man als Vektoraddition die Addition des Körpers nimmt. Das solltest du dir klar machen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht! Ein Vektorraum ist nicht zwingend ein Körper und kann auch nicht zwingend als solcher aufgefasst werden! Mit diesen Erkenntnissen kannst du leicht einsehen, dass \(\mathbb{C}\) auch als \(\mathbb{C}\)-Vektorraum aufgefasst werden kann, da \(\mathbb{C}\) ein Körper ist. Das ist natürlich relativ witzlos. Damit kommen wir zur zweiten Frage:
2.) ℂ ist 2-dimensionaler Vektorraum über ℝn
Die Formulierung " \(V\) ist ein Vektorraum über \(K\)" nutzt man, um auszudrücken, dass \(V\) ein \(K\)-Vektorraum ist. Das setzt voraus, dass \(K\) ein Körper ist. \(\mathbb{R^n}\) ist für \(n>1\) kein Körper (jedenfalls nicht mit der Standard-Skalarmultiplikation, Vektorraddition etc. Mit einem komponentenweisen Ansatz kann man daraus eventuell einen Körper machen, kannst du ja mal probieren), sondern ein Vektorraum über \(\mathbb{R}\).
Man kann \(\mathbb{C}\) als Vektorraum über \(\mathbb{R}\) auffassen und sozusagen mit \(\mathbb{R^2}\) identifizieren, Stichwort Gauß-Ebene.
