Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit. Funktion auf Stetigkeit überprüfen.

Question

Funktion auf Stetigkeit überprüfen:

$g: \Re \rightarrow \Re, \quad x \mapsto|x| \sqrt{|x|}$

Habe mich an diesem Video orientiert:

und die Funktion für x ≥ 0 und x < 0 betrachtet.

Meine Frage ist nun, ob man das wie folgt machen kann:

1. Fall: x≥0

$x, y \geqslant 0 \quad \operatorname{mic} y>x$
$|f(y)-f(x)|=|y \sqrt{y}-x \sqrt{x}|$
$\quad=\sqrt{y^{3}}-\sqrt{x^{3}}$
$\sqrt{y^{3}}-\sqrt{x^{3}}<\varepsilon$
$\Leftrightarrow \sqrt{y^{3}}<\varepsilon+\sqrt{x^{3}}$
$\Leftrightarrow y^{3}<\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{x^{3}}+x^{3}$
$\Leftrightarrow y<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{x^{3}}+x^{3}}$
$\Leftrightarrow|y-x|<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{x^{3}}+x^{3}}-x=: \delta$

2. Fall: x<0

$x, y<0$ mic $y>x$
$|f(y)-f(x)|=\left|-y^{\sqrt{-y}}-(-x \sqrt{-x})\right|$
$=\sqrt{-y^{3}}-\sqrt{-x^{3}}$
$\sqrt{-y^{3}}-\sqrt{-x^{3}}<\varepsilon$
$\Leftrightarrow \sqrt{-y^{2}}<\varepsilon+\sqrt{-x^{3}}$
$\Leftrightarrow-y^{3}<\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}+\left(-x^{3}\right)$
$\Leftrightarrow-y<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}-x^{3}}$
$\Leftrightarrow-y-(-x)<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}-x^{3}}+x$
$\Leftrightarrow-(y-x)<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}-x^{3}}+x$
$\Leftrightarrow \quad|y-x|<-\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}-x^{3}}-x = \delta$

Comments

Ich bin mir unsicher, ob man nicht vielleicht auch sagen kann, dass es reicht die Stetigkeit für

 f(x) = x* Wurzel(x) für x ∈ [0,∞]  zu zeigen,weil diese Funktion ja an der y-Achse gespiegelt wird, wenn man deine Funktion erhalten will.

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Stimmt, hört sich sinnvoll an und erspart Arbeit.

:)

Answer 1

Hi,
$|x|$ und $\sqrt{|x|}$ sind beides stetige Funktionen, also ist auch die Funktion $g(x)=|x| \cdot \sqrt{|x|}$ stetig.