Polynom anhand beschriebener Eigenschaften bestimmen

Question

Ein Polynom der Form $$y=ax^3+bx^2+cx+d$$berührt im Nullpunkt die x-Achse. Die Tangente an den Graphen im Punkt P(-3/0) ist die Parallele zu der Geraden mit der Gleichung g(x) = 6x. Bestimmen Sie das Polynom.

Schnell hat man es raus, dass d = 0 ist. Mit dem Wissen, dass die Funktion im Punkt P(-3/0) eine Tangente hat, lässt sich eine Gleichung mit dieser Nullstelle aufstellen. Eine weitere Gleichung erhält man, wenn man die Funktion ableitet, (-3) für x einsetzt und gleich der Ableitung der parallelen Funktion g(x) setzt (6).

Nun brauche ich aber noch eine dritte Gleichung, weil ich ja drei zu bestimmende Variablen habe. Kann bitte jemand helfen?

Answer 1

eine weitere Gleichung erhältst Du durch berücksichtigen von f'(0) = 0, welches durch das Wort "berühren" impliziert wird. Das heißt die x-Achse ist ebenfalls eine Tangenten an den Graphen.

Du hast also:

f(0)=0

f'(0)=0

f(-3)=0

f'(-3)=6

Wobei Du dann aufstellen kannst:

d = 0

c = 0

-27a + 9b - 3c + d = 0

27a - 6b + c = 6

Die ersten beiden schnell in die unteren eingesetzt und dann vollends lösen ;).

Ich komme dann auf f(x) = 2/3*x^3 + 2x^2

Grüße

Comments

Besten Dank für die übersichtliche Lösung. Kann man folglich bitte immer davon ausgehen, dass eine horizontale Tangente impliziert ist, wenn von "berührt" gesprochen wird?Ich erhalte das gleiche Ergebnis. (:

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Kann man folglich bitte immer davon ausgehen, dass eine
horizontale Tangente impliziert ist, wenn von "berührt" gesprochen wird? 

Nein.

Der Berührpunkt zweier Funktionen ist definiert durch
f ( x ) = g ( x )
und
f ´ ( x ) = g ´ ( x )

Die Aussage in der Frage war " berührt im Nullpunkt die x-Achse "
Die x-Achse hat die Steigung 0. Deshalb f ´( 0 ) = 0.

In einem weiteren Berührpunkt hat die Tangente die Steigung f ´( -3 ) = 6.

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Ich versteh. Wie immer danke!

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Gern geschehen.
Viele Fortschritte in der Mathematik
und ein gutes neues Jahr.

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Dankeschön nachträglich!