Menge von Abbildungen auf Algebraische Struktur untersuchen bezüglich Addition und Multiplikation

Question

Es sei M die Menge aller Abbildungen f: ℝ->ℝ mit  f(1) = 1
Untersuchung bzgl. Addition und Multiplikation, ob Halbgruppe, Monoid oder Gruppe

Ich weiß, dass die Funktion Assoziativ ist, ein neutrales und inverses Element hat, aber wie zeigt man sowas?

Answer 1

Es sei M die Menge aller Abbildungen f: ℝ->ℝ mit  f(1) = 1 

Das ist die Menge aller reellen Funktionen, deren Graph durch den Punkt P(1,1) gehen.

Untersuchung bzgl. Addition und Multiplikation, ob Halbgruppe, Monoid oder Gruppe 

Bezüglich Addition ist M nicht abgeschlossen. Denn: wenn f und g Elemente von M sind, so gilt (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 1 +1 = 2 ≠ 1. f+g ist somit nicht in M.

Nur bei einer Multiplikation bleibst du in M.

(f*g)(1) = f(1) * g(1) = 1*1 = 1. Also (f*g) ist in M.

Das neutrale Element bezüglich Multiplikation ist g(x) : = 1 für alle x Element R.

Inverse Elemente bezüglich Multiplikation zu f gibt es nur, wenn f  keine Nullstellen hat.

usw.

Zusatzbemerkung: " Ich weiß, dass die Funktion Assoziativ ist, ein neutrales und inverses Element hat, aber wie zeigt man sowas? "

Was meinst du mit "die Funktion"? Es ist ja nicht nur ein f gegeben, sondern eine ganze Menge von Funktionen f.

Comments

danke. hab mich nur blöd ausgedrückt

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muss eine Menge abgeschlossen sein um eine Halbgruppe, ein Monoid oder eine Gruppe zu sein?

reicht für (AG) bzgl. Mult. folgendes:
seien f,g,h ∈ M
(f  * g) * h = ( (f*g)(1) ) * h(1) = ( f(1) * g(1) ) * h(1) = (1*1) *1 = 1*(1*1) = f(1) * ( g(1) * h(1) ) = f(1) * ( (g*h)(1) ) = f*(g*h)

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(AG) bez. Mult. ist so in Ordnung.

Anmerkung: Ich habe einfach mal angenommen, dass Multiplikation stellenweise gemeint ist.

Zumindest bei Gruppen muss man jedes Element mit jedem verknüpfen können ohne, dass man die Gruppe verlässt. Bei deinen andern Strukturen musst du die Definition ansehen. Vielleicht ist das nicht immer verlangt.