Welche algebraische Struktur bildet die Menge aller Abbildungen?

Question

Frage wie oben.

Dadruch dass die Multiplikation von Abbildungen (also f verkettet mit g) nicht Kommutativ ist, bilden Sie keine abelsche Gruppe und somit keinen Körper oder? Was dann?

Außerdem: Bei der Multiplikation von den Abbildungen existiert ja ein Einselement, also die Identitätsabbildung.Giibt es auch ein Nullelement?

Answer 1

Multiplikation von Abbildungen (also f verkettet mit g) 

Das sind zwei verschiedene Operationen:

Einmal die Multiplikation von Abbildungen (wenn die Grundstruktur eine Multiplikation hat) und zum Anderen die Verkettung aka Hintereinderasuführung die immer dann definiert ist wenn der Buildbereich von g im Definitionsbereich von f liegt.

Auch sonst ist deine Frage viel zu vage: Was sind das für Abbildungen, von wo nach wo?

Du scheinst anzunehmen dass die Grundmengen eine 0 und eine 1 haben.

Dann gibt es auch eine Addition von Abbildungen,die deutlich schönere Eigenschaften wie die Multipliaktion hat.

Comments

Du hast recht, ich hätte mich genau ausdrücken sollen.

Also es geht um Abbildungen im Fall von X=Y=Z.
Dann sind f: X --> X g:X--->X und dann ist g o f auch eine Abbildung von X in sich.
Das ganze bildet dann eine Multiplikation auf der Menge aller Abbildungen von X nach X mit der Identitätsabbildung als Einselement.
Und diese Multiplikation ist ja nicht kommutativ, aber Assoziativ.

Und ich würde jetzt gerne wissen, was für eine algebraische Struktur das ist und ob jemand weiß ob es ein Nullelement gibt.

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Du hast hier eine Gruppe, gegeben aus der Grundmenge der Abbildungen von den ganzen Zahlen in die ganzen Zahlen (ich vermute mal Z soll eigentlich ℤ sein ) und deren Hintereinanderausführung.

Diese Gruppe wird multiplikativ geschrieben, daher bezeichnen manche das neutrale Element dieser Gruppe als Einselement.

Ebenso wird manchmal das neutrale Element einer additiv geschriebenen Gruppe als Nullemelement bezeichnet.

D.h. Nullelement als Begriiff macht hier nicht viel Sinn.

Hat man einen Ring - und dazu braucht es zwei Verknüpfungen - so bezeichnet man das neutrale Element der einen (der "Addition") als Nullelement das der anderen (der "Multipliaktion") als Einselement.

Du kannst hier einen Ring basteln  wenn du die Addition der Abbildungen und Komposition als Verknüpfungen verwendest.

Dann ist die konstante Nullabbildung das Nullelement.