Es seien X und Y Mengen. Beweisen Sie, dass die Gesamtheit Abb(X, Y ) aller Abbildungen von X nach Y eine Menge bildet

Question

Aufgabe:

Es seien X und Y Mengen. Beweisen Sie, dass die
Gesamtheit Abb(X, Y ) aller Abbildungen von X nach Y eine Menge bildet

Problem/Ansatz:

… Ich habe keine Idee wie ich beweisen soll das etwas eine Menge ist.

Wenn jemand mir helfen könnte wäre ich ihm sehr dankbar.

Answer 1

Abbildungen sind Relationen mit besonderen Eigenschaften.

Also ist das eine Teilmenge von X x Y.

Comments

Damit ist jede Abbildung eine Menge. Warum ist die Gesamtheit Abb(X, Y ) aller Abbildungen von X nach Y eine Menge?

Answer 2

Sei \(\mathrm{LT}(f)\coloneqq \forall x\in X\,\exists y\in Y:\, (x,y)\in f\).

Sei \(\mathrm{RE}(f)\coloneqq \forall x\in X\,\forall y_1, y_2\in Y:\, (x,y_1)\in f\wedge (x,y_2)\in f \rightarrow y_1=y_2\).

Die Formeln \(\mathrm{LT}(f)\) und \(\mathrm{RE}(f)\) sind \(\in\)-Formeln und es ist

        \( \mathrm{Abb}(X, Y) = \left\{ f \in \mathrm{Pot}(X\times Y) | \mathrm{LT}(f) \wedge \mathrm{RE}(f)\right\}\).

Laut Aussonderungsaxiom und Potenzmengenaxiom ist \(\mathrm{Abb}(X, Y)\) eine Menge, wenn \(X\times Y\) eine Menge ist.