Zeigen Sie mit Hilfe des Schubfachprinzips, dass es unter 7 ganzen Zahlen mindestenszwei gibt, deren Differenz durch …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Schubfachprinzips, dass es unter 7 ganzen Zahlen mindestens zwei gibt, deren Differenz durch 6 teilbar ist.

Answer 1

Hallo,

Denke Dir 6 Schubladen und markiere diese mit den Nummern 0 bis 5. Nehme nun irgendeine ganze Zahl - z.B. die 21 - und bilde den Rest bei der Division durch 6. In diesem Fall ...$$21 \equiv 3 \mod 6$$... ist dies die 3. Also landet die 21 in der Schublade mit der Nummer 3. Machst Du das für weitere 6 Zahlen - also in Summe für 7 Zahlen - so werden sich in mindestens einer Schublade mindestens zwei Zahlen befinden.

Ziehst Du diese beiden Zahlen von einander ab, so ist die Differenz durch 6 teilbar, da beide einen gemeinsamen Rest \(r\) haben. Sei die eine Zahl \(x = 6m + r\) und die zweite \(y=6n+r\) mit \(n,m \in \mathbb Z\), so ist die Differenz \(d\)$$d = |6m+r - (6n+r)| = 6|m-n| \implies 6 \mid d$$

Answer 2

Bei der Ganzzahl-Division durch 6 gibt es sechs Möglichkeiten für den Rest, nämlich 0; 1; 2; 3; 4 und 5.

Wenn sechs Zahlen genau diese Reste haben, muss die siebte Zahl ebenfalls einen dieser Reste haben.

Nun bilde die Differenz...

:-)

Comments

Danke für die Antwort, was bedeutet Bilde die Differenz?

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Die Differenz zweier Zahlen soll untersucht werden, also das Ergebnis beim Subtrahieren.

Wenn die siebte Zahl bei der Division durch 6 z.B. den Rest 2 hat, nimmst du von den sechs Zahlen die, die ebenfalls den Rest 2 hat. Wenn du beide subtrahierst, hat das Ergebnis den Rest Null, also ist die Differenz durch 6 teilbar.

:-)