Zeigen Sie, dass die algebraische Struktur (ℝ,*) eine abelsche Gruppe bildet

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die algebraische Struktur \( (\mathbb{R}, *) \) definiert durch

\( a * b=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}} \)

eine abelsche Gruppe bildet.

Answer 1

Hier gilt es, wie oft in der Mathematik, definierende Eigenschaften nachzuweisen:


1) * ist assoziativ

2) Es gibt ein neutrales Element bzgl. *

3) Jedes Element der Gruppe hat bzgl.* ein Inverses Element

Und  hier noch:

4) Kommutativität

(Wenn man genau ist, müsste man auch noch a*b ist wieder ein Gruppenelement beweisen)


Ich mach mal 2):

Gesucht ist eine reelle Zahl e derart, dass für alle reellen zahlen a gilt:

$$a=a*e:=\sqrt[3]{a^3+e^3}$$

e=0 erfüllt diese Gleichung, ist also das neutrale Element bzgl. *