Beweisen Sie, dass (ℝ, *) eine abelsche Gruppe bildet: a*b := f ( f^{-1} (a) + f^{-1} (b) - 1)

Question

Hallöchen.

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

 

Sei f : ℝ → ℝ eine bijektive Abbildung mit f(1) = 0. Man definiert die Verknüpfung * : ℝ x ℝ → ℝ

a * b := f ( f ^-1 (a) + f ^-1 (b) - 1),

für alle a,b ∈ ℝ. Beweisen Sie, dass (ℝ, *) eine abelsche Gruppe bildet.

 

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

dies wird folgendermaßen bewiesen: Die Kommutativität ist klar:

a * b = b * a (easy, oder?)

Nun die Gruppeneigenschaft: Es gilt, das neutrale Element e zu finden, sowie eine Bestimmungsvorschrift für das inverse Elemente a^-1 eines Elementes a zu finden:

Aus f(1) = 0 folgt wegen der Bijektivitätseigenschaft von f, dass 1 = f^-1(0) ist. Probiere zuerst e = 1.

a * 1 = f(f^-1(a) + f^-1(0) - 1) = f(f^-1(a)) = a ==> 1 ist wirklich das neutrale Element.

Durch Probieren oder die Forderung a * b = 1 erhält man

b = f( f^-2(0) - f^-1 (a) ) für alle a.

Zu deiner Sicherheit solltest du die Probe durchführen.

MfG

Mister

Comments

Falsch, Fehler gemacht: a*b = 1,

b = f( f^{-1}(1) + 1 - f^{-1}(a) ).

MfG

Mister

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Das neutrale Element ist nicht 1. Und was ist mit der Assoziativität?

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Assoziativität wird überbewertet, ist aber, wenn man genau hinkuckt, gegeben.

MfG

Mister


PS: Stimmt 1 ist tatsächlich nicht das neutrale Element. Es existiert jedoch und ist aus meiner Rechnung sogar ersichtlich, wenngleich die 1 ersetzt werden muss.