Mathematik Integration integrieren

Question

 ∫1/√(1-x²)
Anmerkung: x = sin(y)

Kann mir jemand helfen, diese Aufgabe zu integrieren ??

Was muss ich mit der Anmerkung machen ??

Comments

Hi,

nur mal meine Vermutung: Die Stammfunktion ist glaube ich arctan(x), also tan^-1(x), aber was sin(y) sein soll, weiß ich auch nicht. Du könntest auch eine Partialbruchzerlegung machen mit Komplexen Zahlen oder so machen.......

Angaben ohne Gewähr. Nur mal so eine Vermutung.

Answer 1

∫1/√(1-x²) dx

mit x = sin(y) und dx = cos(y) dy

∫1/√(1-sin(y)²) cos(y) dy

Im Nenner trig. Pythagoras verwenden und Wurzel auflösen.

∫1/cos(y) cos(y) dy = ∫ dy = y + c

Nun Resubst.

y + c = sin^{-1}(x) + c

Grüße

Answer 2

!! Frohes neues Jahr!!!! :)


$$x=\sin y \Rightarrow dx=\cos y dy$$ 



$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int \frac{\cos y}{\sqrt{1-\sin^2 y}}dy=\int \frac{\cos y}{\sqrt{\cos^2 y}}dy=\int \frac{\cos y}{|\cos y|}dy=\int \frac{\cos y}{\cos y  \cdot sgn(y)}=\int \frac{1}{sgn(y)}=\int sgn(y)dy=|y|+c=|arcsiny|+c$$



wobei

Es gilt:


$$\frac{1}{\operatorname{sgn}(x)} = \operatorname{sgn}(x)$$

 und
$$(|x|)' = \operatorname{sgn}(x)$$