Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit:

a) \( f_{k}: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x^{k} \sin \left(\frac{1}{x}\right), & \text { falls } x \neq 0, \\ 0, & \text { falls } x=0,\end{array} \quad\right. \) für \( k \in \mathbb{N} \).

b) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto|x| \sqrt{|x|} \).

Comments

Für Punkte x_0, die ungleich 0 sind, kannst Du sagen: Die Funktionen setzen sich aus elementaren differenzierbaren Funktionen zusammen und sind deshalb nach den Differentiationsregeln differenzierbar.

Für den Nullpunkt musst Du den entsprechenden Differenzenquotient untersuchen.

Answer 1

Bei Stetigkeit so ähnlich:
Für x ungleich Null ist alles stetig nach den gängigen Sätzen,
für x=0 musst du schauen, ob für jede Folge xn, die gegen Null konvergiert
auch die Folge der Funktionswerte gegen Null konvergiert.
Ich denke, das ist hier der Fall.

Answer 2

Beachte : Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit.
Ich würde vorschlagen :
Bei a :
Der erste Teil ist,da er eine Komposition von Differenzierbaren Funktionen ist,diffbar.(1/x  ohne 0 ist diffbar in jedem Punkt , sin(x) ist diffbar in jedem Punkt ...) . 0 Ist auch diffbar(Konstanten sind diffbar).
Jetzt musst du schauen,ob der erste Teil einmal gegen 0 geht für x ->0 und ob die beiden Ableitungen der Teile im Punkt 0 gleich sind(=0).
Dann ist das gesamte auch diffbar ===> stetig.

bei b :
Hier gehst du die ganze Sache mit einer Fallunterscheidung. 1.    x>=0    und 2.  x<0   an.
Müsste eigentlich genauso wie bei a klappen dann.