Exponentialfunktion f(x)=(1+x)*e^{-x} Asymptote Bestimmen

Question

Wie kann ich eine Asymptoten für fölgende Funktion bestimmen?

f(x)=(1+x)*e^{-x}

Answer 1

$$f(x)=\frac{1+x}{e^x}$$

Um bei einer gebrochenrationalen Funktion die vertikalen Asymptoten zu finden, muss lediglich der Nenner nullgesetzt werden, aber da $$e^x \neq 0, \forall x \in \mathbb{R}$$ gibt es keine vertikalen Asymptoten. 

Horizontale Asymptoten sind dort zu finden, wo sich eine Funktion auf einen konstanten Wert hin konvergiert. Man muss dazu den Grenzwert der Funktion bilden und x gegen ±∞ streben lassen. Ist der Grenzwert eine konstante Zahl, so ist diese die horizontale Asymptote. 

Also $$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1+x}{e^x}=\lim_{x \rightarrow -\infty} (1+x)e^{-x}=(-\infty)(+\infty)=-\infty$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1+x}{e^x} \overset{ \text{ De L'Hospital }}{\Rightarrow }\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{e^x}=0$$ 

Also die horizontale Asymptote: $$y=0$$

Answer 2

Asymptote in Richtung positiver x-Achse ist y = 0.

Der Grenzwert der Funktion gegen unendlich ist ja 0.