Surjektivität beweisen bei Gruppenhomomorphismus

Question

hallo ich habe eine Abbildung f: Grp(ℤ,G)→G mit φ↦φ(1)

wobei Grp(ℤ,G) die Menge der Gruppenhomomorphismen zwischen der Menge ℤ und einer beliebigen Gruppe G ist

injektivität konnte ich zeigen, jetzt will ich surjektivität zeigen:

mein anfang: wähle g∈G beliebig aber fest.

wie finde ich jetzt ein φ das abgebildet als f(φ) also φ(1) mein g ergibt?

kann jemand helfen? 

Answer 1

Definiere einfach eine Abbildung φ : Z → G mit   φ(n)=g^n bzw. n*g (je nachdem ob du die
Gruppe multiplikativ oder additiv schreibst) und zeige, dass dies ein Hom ist.

Comments

d.h. ich habe g=f(φ)= φ(1)= g¹=g bzw.: 1*g=g
φ(n)=gⁿ ist ein homomorphismus da gilt:
φ(n₁*n₂)=g^n₁*n₂=g^n₁*g^n₂=φ(n₁)*φ(n₂)

?
wie kann ich mit * rechnen wenn ich nicht weiß welche verknüpfung für ℤ und G gilt?

Vielen dank schonmal für deine antwort

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bei Z muss es "plus" sein, denn bzgl.  "mal" ist es ja keine Gruppe.

φ(n)=gⁿ ist ein homomorphismus da gilt: 
φ(n₁₊n₂)=g^n₁₊n₂=g^n₁*g^n₂=φ(n₁)*φ(n₂) 

bei multiplikativer Schreibweise der Gruppe G.

Du weisst natürlich nichts genaues über 

G, sondern nur: ist eine Gruppe.

Und dann sagst du einfach : Ich nenne die Verknüpfung *

und definiere g^n = g*g*g...*g (n Faktoren)

und für die negativen ganzen Zahlen

g^{- n} = g^{- 1} * g^{- 1} * g^{- 1} * .....*g^{- 1}   (n Faktoren vom Inversen zu g, das 

es in einer Gruppe ja geben muss.

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danke ich glaub wir müssen das nicht mal so genau definieren aber mir war vorher nie klar warum ich das auf einmal darf, danke dir.