x + log_(a)2 = 2 + log_(a)x. Welche reellen Zahlen x lösen die Gleichung?

Question

meine Frage:

x + log_a2 = 2 + log_ax

Welche reellen Zahlen x lösen die Gleichung?

Meine Lösung: x = 2;

In den Lösungen steht jetzt, dass das stimmt und zusätzlich, dass es, falls die Basis a zwischen 1 und √e liegt, oder a größer √e ist, mehrere Lösungen gibt.

Wenn ich die Grafen g(x)= x-2 und f(x)= log (x/2) mit verschiedenen Basen versuche aufzuzeichnen, erahne ich, dass es für Grafen mit Basen innerhalb der angegebenen Intervalle mehrere Schnittpunkte gibt, also mehrere Lösungen der o.g. Gleichung. Nur, wie komme ich auf die genaue Grenzen?

vielen Dank!

Answer 1

die Grafen mit verschiedenen Basen ... eine nekrophile Inzuchtorgie !
$$ x + \log_a2 = 2 + \log_ax  $$
$$ x + \frac {\ln 2}{\ln a} = 2 + \frac {\ln x}{\ln a}  $$
$$ x-2 =  \frac {\ln x}{\ln a} -  \frac {\ln 2}{\ln a} $$
$$ (x-2) \cdot \ln a =   {\ln x} -   {\ln 2}$$
hier gibt es Fälle zu beachten: wann Vorzeichenwechsel, wann ist ln (a) positiv, negativ, grösser oder kleiner 1 etc.

Comments

hier gibt es Fälle zu beachten: wann Vorzeichenwechsel, wann ist ln (a) positiv, negativ, grösser oder kleiner 1 etc.

Eigentlich nur etc.

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mit etc. probiert:

$$ x + \log_a2 = 2 + \log_ax $$
$$ x -2 = \log_ax -\log_a2$$
$$ x -2 = \log_a(\frac x2)$$
$$ a^{x -2} = \frac x2$$
$$ \frac{a^{x }}{a^{2}} = \frac x2$$
$$2{a^{x }} = x \cdot a^{2}$$

So kommt man zumindest auf die Hauptlösung x=2 ohne Näherungsverfahren.

... aber der Nachweis der weiteren Lösungen ...

ich schnarch dann mal weg

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aber der Nachweis der weiteren Lösungen ...

Es ist nicht die Lage, sondern die Anzahl der Lösungen gesucht.

Da f " das Vorzeichen nicht wechselt und g"=0 ist, können die Graphen von f und g entweder 0 oder 1 oder 2 gemeinsame Punkte haben.

Offenbar ist x=2  immer Lösung, unabhängig von a, also scheidet der Fall "0" aus.

Der Fall "1" tritt genau dann ein, wenn der gemeinsamen Punkt ein Berührpunkt ist, wenn dort also
f '(x) = g'(x) ist. Weil diese Stelle x=2 sein muss, folgt a = e^0,5 .

Alle anderen a gehören zum Fall "2".

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Zitat Gast: "Es ist nicht die Lage, sondern die Anzahl der Lösungen gesucht."

Frage aus Erstposting: "Welche reellen Zahlen x lösen die Gleichung?"

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Bezog mich auf Frage aus Erstposting: " Nur, wie komme ich auf die genaue Grenzen?"

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Zitat Gast hj212 :
"

Der Fall "1" tritt genau dann ein, wenn der gemeinsamen Punkt ein Berührpunkt ist

Alle anderen a gehören zum Fall "2".
"

.........<-  Das ist ja nicht ganz richtig..

also -> ausgehend von der Darstellung -> (x-2) * ln(a) = ln(x/2)
wird sichtbar:
-> die Gerade g(x) = (x-2) * ln(a)  und  f(x) = ln(x/2)  haben immer die gleiche Nullstelle (bei x=2)


-> g(x) ist Tangente an f(x) in Punkt N(2;0) wenn  a= e^{1/2} (Steigung also m=1/2) ->1 Punkt gemeinsam

-> wenn die Steigung der Geraden m=ln(a) negativ ist (also für alle a mit 0 <a <= 1 )
kann sie die Log-Kurve in keinem weiteren Punkt (ausser eben in N) schneiden ->
also auch dann nur genau 1 Punkt gemeinsam.



-> wenn die GeradenSteigung m=ln(a) positiv ist also ln(a) >0 .. also für a>1  
dann gibt es (ausser für a= e^{1/2} ) immer zwei Schnittpunkte (einer in N)

den zweiten Schnittpunkt  x2 wird man mit Näherungsmethoden ermitteln
wobei 0<x2<2 , also x2 links von x1=2 gesucht wird, wenn a <e^{1/2}
und x2 >2 wenn a> e^{1/2}

ok?
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-> wenn die Steigung der Geraden m=ln(a) negativ ist (also für alle a mit 0 <a <= 1 )
kann sie die Log-Kurve in keinem weiteren Punkt (ausser eben in N) schneiden ->
also auch dann nur genau 1 Punkt gemeinsam. 

Das ist natürlich völlig richtig, allerdings war in der Fragestellung nur von  1 < a  die Rede.

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Zitat von Gast hj215 -> "
"
allerdings war in der Fragestellung nur von  1 < a  die Rede.
"

also, lieber Gast , du solltest halt auch da genauer lesen können ->

Aufgabentext:
"
-> Welche reellen Zahlen x lösen die Gleichung?

und zusätzlich, dass es, falls die Basis a zwischen 1 und √e liegt,

oder a größer √e ist, mehrere Lösungen gibt. 

"

ALSO:

gesucht wird zunächst (für alle a>0 ) -> welche x lösen die Gleichung...

und dann kommt noch die zusätzliche Aufgabe :

zeige, dass es falls a>1 (sogar) mehrere Lösungen für x gibt.

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Passt, der Schleier lüftet sich... vielen herzlichen Dank!