Bernoulli - Differentialgleichung: y'/y^2 + 4/x*1/y = x^3

Question

Bernoulli- Differentialgleichung: (mittels Substitution berechnen)

\( \frac{y^{\prime}}{y^{2}}+\frac{4}{x} * \frac{1}{y}=x^{3} \)

Comments

Du willst diese Differentialgleichung lösen?

Sagt dir jemand, dass du substituieren sollst?

u = 1/y

hätte

u' = -y' / y^2.

Weiss aber nicht genau, ob dir das was nützt.

Wenn du kein x im Nenner und rechts x hättest statt x^3, könntest du wie in diesem Video weiterfahren:

https://www.youtube.com/watch?v=7MmhoqvM9_Q

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Ich habe  die Substitution auch genauso gemacht. Aber wenn ich meine Lösung mit WA vergelichen würde, ist meine falsch.

Answer 1

Hi,
die vorgeschlagene Substitution führt auf eine lineare Differentialgleichung
Diese Differentialgleichung kann man mittels Variation der Konstanten lösen. Anschließend muss man noch die Rücktransformation machen. Allerdings ist für eine eindeutige Lösung die Angabe der Anfangsbedingung notwendig, also eine Information der Form
$$ y(\xi)=\eta $$

Comments

Hi,
die Transformation \( u(x)=\frac{1}{y(x)} \)überführt die Dgl.
$$ (1) \quad \frac{y'(x)}{y(x)^2}+\frac{4}{x}\frac{1}{y(x)} = x^3 $$ in die folgende Dgl.
$$ (2) \quad u(x)'- \frac{4}{x}u(x)=-x^3 $$
(2) ist eine inhomogene Dgl. 1'-ter Ordnung die man durch Variation der Konstanten lösen kann.
Die allgemeine Lösung einer Dgl. der Form
$$ (3) \quad u'(x)+g(x) \cdot u(x)=h(x) $$ lautet
$$ (4) \quad u(x;\xi,\eta) = e^{-G(x)} \left( \frac{1}{\eta} + \int_\xi^x h(t) \cdot e^{G(t)} dt \right) $$
mit
$$ G(x) = \int_\xi^x g(t) dt  $$
falls die Anfangsbedingung lautet
$$ u(\xi) = \frac{1}{\eta} $$
Hier ist
$$ g(x)=-\frac{4}{x} $$ und
$$ h(x)=-x^3 $$
Damit ergibt sich folgende Lösung für die transformierte Dgl. \( (2) \)
$$ (5) \quad u(x;\xi,\eta)=\frac{x^4}{\xi^4}\left( \frac{1}{\eta} - \xi^4 \cdot ln(x)+\xi^4 \cdot ln(\xi) \right) $$
und damit ergibt sich für \( (1) \) die Lösung
$$ (6) \quad y(x;\xi,\eta) = \frac{1}{u(x;\xi,\eta)}= \frac{\xi^4}{x^4}\frac{\eta}{1-\xi^4 \cdot \eta \cdot ln(x) + \xi^4 \cdot \eta \cdot ln(\xi)}  $$
Diese Lösung erfüllt auch die Anfangsbedingung
$$ y(\xi) = \eta $$ allerdings muss gelten \( \xi \ne 0 \)

Answer 2

Hallo,

Bernoulli -Differentialgleichung :

\( \frac{y^{\prime}}{y^{2}}+\frac{4}{x} * \frac{1}{y}=x^{3} \)

allgemeine Struktur: \( y^{\prime}+g(x) y=h(x) \cdot y^{n} \)

multipliziere mit \( y^{2} \) :

y' +y*\( \frac{4}{x} \)= \( x^{3} \)*\( y^{2} \)        (1)

---->\( n=2  \):

\( \begin{array}{l}z=\frac{y}{y^{n}}=\frac{1}{y} \\ y=z^{\frac{1}{1-n}}=\frac{1}{z}\end{array} \)

\( \begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{1}{1-n} z^{\frac{n}{1-n}} \cdot z^{\prime} \\ y^{\prime}=-z^{-2} \cdot z^{\prime}\end{array} \)

y und y' einsetzen in(1):

\( \begin{array}{rl} -z^{-2} y^{\prime}+\frac{4}{z x}=x^{3} \cdot z^{-2} & | \cdot\left(-z^{2}\right) \\ y^{\prime}-\frac{4 z}{x}=-x^{3} & g(x)=-\frac{4}{x} \\ & s(x)=-x^{3} \end{array} \)
Variation der Konstanten:
\( \int g(x) d x=\int-\frac{4}{x} d x=-4 \ln |x| \)

\( \begin{array}{l} \int s(x) e^{\int g(x) d x}=\int\left(-x^{3}\right) \cdot e^{-4 \ln |x|} d x \\ =\int\left(-x^{3}\right) \cdot \frac{1}{x^{4}} d x=\int-\frac{1}{x} d x \\ =-\ln (x) \\ \text { allgemein: } z=e^{-\int g(x) d x}\left[\int s (x) \cdot e^{\int g(x) d x} d x+c\right] \\ z=x^{4}[-\ln (x)+c] \\ \end{array} \)
Resubstitution: \( z=\frac{1}{y} \)
\( \begin{array}{l} \frac{1}{y}=x^{4}(-\ln (x)+c) \\ y=\frac{1}{x^{4}(-\ln (x)+c)} \end{array} \)