Tiefpunkt gleich BOV?

Question

ich habe folgende Funktion gegeben:

f(x)=1/-6(x^3+12x^2+36x)

Ich soll nun die Extremwerte bestimmen.

Dann kommen folgende Werte raus:

x1=-2 ; x2=-6

Nun wollte ich bestimmen ob sie Hoch oder Tiefpunkte sind, also 2. Ableitung gebildet:

f(x)"=-x-4

Setze ich nun jeweils die X-Werte eine erhalte ich immer einen Negativen Wert, was doch eigentlich bedeutet es liegen 2 Hochpunkte vor?

Der X-Wert von -6 liegt jedoch genau auf der X-Achse und ist ein Berührpunkt vom Graphen f.

Wie kann ich nun nachweisen das der X-Wert bei -6 ein Tiefpunkt ist?

Grüße

Answer 1

f(x) = 1/(-6)·(x^3 + 12·x^2 + 36·x) = - x^3/6 - 2·x^2 - 6·x

f'(x) = - x^2/2 - 4·x - 6

f''(x) = -x - 4

f''(-2) = -(-2) - 4 = -2 < 0 --> Hochpunkt

f''(-6) = -(-6) - 4 = 2 > 0 --> Tiefpunkt