Grenzwertaufgabe b_{n} = {(n^2 + 3n + 2)/(n^2 + 4n - 5)}^n

Question

Grenzwertaufgabe:

$$ { b }_{ n }=\left( \frac { { n }^{ 2 }+3n+2 }{ { n }^{ 2 }+4n-5 }  \right) ^{ n }= $$

Mein Ergebnis stimmt nicht mit dem auf Wolframalpha überein.

$$ b_{n}=\left(\frac{n^{2}+3 n+2}{n^{2}+4 n-5}\right)^{n}=\left(\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{1+\frac{4}{n}-\frac{5}{n^{2}}}\right)^{n}=\left(\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{\sqrt{2}}{n}}{1+\frac{4}{n}-\frac{\sqrt{5}}{n}}\right)^{n}=\left(\frac{1+\frac{3+\sqrt{2}}{n}}{1+\frac{4-\sqrt{5}}{n}}\right)^{n} $$

$$ =\frac{\left(1+\frac{3+\sqrt{2}}{n}\right)^{n}}{\left(1+\frac{4-\sqrt{5}}{n}\right)^{n}}=\frac{\left(1+\frac{4,414}{n}\right)^{n}}{\left(1+\frac{1,763}{n}\right)^{n}} $$

$$ n \rightarrow \infty: \frac{e^{4,414}}{e^{1,763}}=e^{2,65 l} $$

Comments

Wie kommt der Term nach dem dritten Gleichheitszeichen zustande?

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da habe ich im rechten Bruch im Zaehler und Nenner die Wurzel gezogen oder wo meinst du?

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Und warum sollte man so etwas dürfen?

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hmja hast recht.. ist nicht erlaubt, hab es gerade mal mit zahlen nachgerechnet. seufz.

kannst du mir nen tipp geben wie ich dann diesen bruch wegbekomme? mir faellt sonst nichts ein wie ich diese  1+ α/n Form bekomme.

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Vorschlag: Schau doch bitte nochmal genau nach, ob im Nenner vor dem 4n wirklich
ein plus-Zeichen steht?

mit dem Nenner -> n^2  - 4n - 5 könntest du den Bruch in der Klammer vereinfachen
und mit dem Term [(n + 2) / (n-5)]^n solltest du dann keine Probleme mehr haben für n->oo

also?...

Answer 1

Was Du suchst findest Du unter http://www.gerdlamprecht.de/nichttrivialeGrenzwerte_Limes.html

§3b mit B=3 und G=4 -> Regel von L'Hospital und Subst. t=1/x dann Nenner + Zähler ableiten

Comments

... man sieht das hier ja leider nicht - aber ->
falls du Gymnasiast oder sowas bist - und nicht alter Student -

dann glaube ich nicht, dass man dir eine solche Aufgabe vorlegt..

deshalb wiederhole ich hier meinen obigen Vorschlag :

schau doch bitte nochmal genau nach, ob im Nenner vor dem 4n wirklich
ein plus-Zeichen steht ?

mit dem Nenner -> n² - 4n - 5 könntest du den Bruch in der Klammer vereinfachen
und mit dem Term [(n + 2) / (n-5)]ⁿ solltest du dann keine Probleme mehr haben für n->oo

also?

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Die Aufgabe ist so korrekt und gehoert zu diversen Zusatzaufgaben auf meinen Uebungsblaettern (diese scheinen allerdings wohl wie ich nun erfahren habe nicht klausurrelevant zu sein, in meinem Skript taucht naemlich auch nichts zu L'Hospital auf).