Zeige, dass der von den Kreisen nicht bedeckte Anteil der Quadrate immer der gleiche ist!

Question

kann mir bitte jemand bei diesen beiden Fragen helfen?

Ich waer sehr dankbar!

Die Pucks haben jeweils ein Durchmesser von 7,62 cm und eine Hoehe von 2,54 cm.

Ihr Volumen betraegt 116 cm^3.

^{Die schachtel hat ein Volumen von 379.842912 cm. In ihr befinden sich je vier Pucks in drei Schichten uebereinander. Die 12 pucks nehemn ein Volumen von 1769.8 cm ein.}

Das Sportgeschäft möchte die Puckschachteln übereinander stapeln, und zwar auf einem mittleren kreisförmigen Dorn (s. Zeichnung).

b) Bestimmen Sie den maximalen Durchmesser, den ein Dorn haben kann, wenn er noch durch diese Schachteln passen soll.

Der Sachverhalt aus Aufgabenteil b) soll nun (in der Ebene) verallgemeinert werden. Du siehst jeweils ein Quadrat, in das ein Kreis, vier und neun Kreise einbeschrieben sind. Stelle dir vor, das in dem Quadrat n² Kreise entsprechend einbeschrieben sind. Zeige, dass der von den Kreise NICHT bedeckte Anteil der Quadrate immer der gleiche ist.

 

Answer 1

Hier mal der Teil d). Leider hast du nicht angegeben, was du in b) schon rausgefunden hast. Deshalb beginne ich von vorn:

1. Quadrat

nichtbedeckte Fläche

A = a^2 - (a/2)^2 π = a^2 - (a^2 *π)/4

2. Quadrat

Nichtbedeckte Fläche

A = a^2 - 4* (a/4)^2 π = = a^2 - (4*a^2*π) /16 = a^2 - (a^2 * π)/ 4        . Ist schon mal gleich.

3. Quadrat

Nichtbedeckte Fläche

A = a^2 - 9*(a/6)^2 π = a^2 - (9*a^2 *π)/ 36 = a^2 - (a^2 * π)/4 . Stimmt auch.

n. Quadrat

A = a^2 - n^2 *(a/(2n)^2 π = a^2 - (n^2 * a^2 * π)/( 4*n^2) = a^2 - (a^2 * π) / 4 

Stimmt also auch allgemein.

Answer 2

Ich versuche es einmal mit Worten :
ich stelle mir ein Dreieck mit den Eckpunkten vor.
Mitte Kreis nach Berührpunkt Kreis mit einem anderen
Kreis und dann zum Mittelpunkts des Quadrats und
zurück zum Ausgangspunkt.

Dies Dreieck ist rechtwinklig und hat die Seitenlängen
z^2 = r^2 + r^2 = 2 * r^2
z = √ 2 * r = 1.4142 * r
Der Kleine Kreis in der Mitte hat den Radius
1.4142 - r = 0.4142 * r  des großen Kreises.

max Durchmesser kleiner Dorn = 1.4142 * r * 2

Kann aber auch gern noch eine Skizze zeichnen.

d.)
Das linke Bild zeigt einen Kreis in einem Quadrat.
v = Verhältnis K / Q.

In einem Qudrat das gevierteilt ist ist das Verhältnis
kleiner Kreis zu kleinem Quadrat dasselbe.
( 4 * K ) /  ( 4 * Q ) = K / Q = v

Dasselbe mit dem rechten Bild.