Menge in komplexe Zahlenebene einzeichnen. {z € C: |(z-1)/(z+1)| < r}, r = 0,5, 1 und 2.

Question

Aufgabe (Komplexe Zahlen):

Bestimmen und zeichnen Sie für \( r=\frac{1}{2}, r=1 \) und \( r=2 \) jeweils die Menge:

\( \left\{z \in \mathbb{C}:\left|\frac{z-1}{z+1}\right|<r\right\} \)

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=|%28z-1%29%2F%28z%2B1%29|+%3C+2

Kannst es dir ja da mal anschauen. Mir fällt da grade nicht zu ein .

Answer 1

|(z-1)/(z+1)| < r

|z-1| < r |z+1|

geometrische Interpretation:

|z-1| : Abstand der Zahl z von 1.

|z+1|: Abstand der Zahl z von -1

Fall r = 1

|z-1| <  |z+1|

geometrisch wäre '=' die Mittelsenkrechte zwischen 1 und -1 also x=0 . Also die imaginäre Achse.

Nun alle Punkte der komplexen Zahleneben markieren, die näher bei 1 als bei -1 liegen:

Also Halbebene rechts der imaginären Achse ohne Rand.

Die Fälle r= 1/2 und r=2 könnten Hyperbeln als Rand haben. Google mal nach Hyperbelgleichungen.