Exponenten bestimmen mit Homogenitätsgrad

Question

Aufgabe:

Ergänzen Sie an den vier durch Kästchen markierten Stellen in der unten genannten Funktion \( f \) die Exponenten so, dass \( f \) homogen vom Grad \( r \) mit

Version A: \( r=9 \),
Version B: \( r=5 \),
Version C: \( r=7 \),
Version D: \( r=6 \),
Version E: \( r=8 \)
Version F: \( r=4 \)

\( f(x, y, z) = x^{ \square } + x^{ \square } · y - z^{ \square } · ln( \frac{ y^{2} }{ z^{ \square } }) \)

Answer 1

Hi,
die Funktion kann man schreiben als
$$ f(x,y,z) = x^a+x^b \cdot y -z^c \cdot ln\left( \frac{y^2}{z^d} \right) $$ mit natürlichen Zahlen \( a, b, c, d \)

Damit gilt
$$ f(\alpha x,\alpha y, \alpha z)= \alpha^a \left( x^a +\alpha^{b-a} \cdot x^b \cdot y - z^{c-a} \cdot ln\left( \frac{\alpha^2 \cdot y^2}{\alpha^d\cdot z^d} \right) \right) $$
Damit $$ f(\alpha x,\alpha y, \alpha z) = \alpha^r f(x,y,z) $$ gilt, muss gelten
\( a = r, \quad b=a, \quad c=a, \quad d=2 \)