Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Differenzierbarkeit und Stetigkeit...

Question

Untersuchen Sie für k ∈ {1,2} die folgende Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Punkt x=0:

\( f: \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R}, x \mapsto\left\{x^{k} \cdot \cos \left(x^{-1}\right) \quad\right. \), falls \( x \neq 0 \) \( \{0 \), falls \( x=0 \)

Meine Idee wäre für k jeweils 1 und 2 einzusetzen und die Funktion für x≠0 abzuleiten(Stetigkeit). Danach soll ich doch den limes von der Funktion für x gegen 0 von der negativen und positiven Seite untersuchen(Differenzierbarkeit)?

Comments

Für \(k=2\) siehe hier: https://www.mathelounge.de/82140/differenzierbarkeit-nachweisen-und-ableiten-cos-fur-und-fur.

Answer 1

Ich hatte so eine ähnliche Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/195067/untersuchen-funktionen-stetigkeit-differenzierbarkeit

Deine Funktion ist also stetig und differenzierbar, außer für x=0 und k=1 ist sie nicht differenzierbar. Das steht bei meiner Behauptung oben nicht dabei, also nicht wundern. Kannst mich ja noch was fragen, wenn du was dazu wissen willst.

Comments

Ich habe aber die Funktion mit cos ... und nicht mit sin..

Aber trotzdem Danke.

---

Das macht ja keinen Unterschied. Die Cosinusfunktion ist eine stetige und differenzierbare Funktion auf ℝ, genau wie die Sinusfunktion. Und wenn du in der Lösung die ich gepostet hab einfach mal cos(1/x) einsetzt wirst du feststellen, dass die ganzen Eigenschaften auch dann noch gelten :)

---

Jetzt habe ich es verstanden.