Stetigkeit
Überprüfe ob gilt
$$ \lim_{x \nearrow 0} f(x) = \lim_{x\searrow 0} f(x)$$ Also ob der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen übereinstimmt.
Wenn ja, dann stetig, wenn nicht, dann nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar.
Differenzierbarkeit
Auch hier wieder schauen, ob der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen übereinstimmt.
$$ \lim_{x \nearrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\searrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} $$
Wenn ja, dann differenzierbar, wenn nicht, dann nicht differenzierbar.