Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen

Question

Einen wunderschönen guten Morgen!

Ich schreibe am Dienstag eine Klausur über Folgen & Differentialrechnung und muss dafür diese Aufgabe einigermaßen verstanden haben.

Ich komme aber leider nicht weiter, bzw. weiß nicht, wie man so eine Fkt. auf Differenzierbarkeit überprüfen kann...

Die Aufgabe lautet:

4. Entscheiden Sie durch Betrachtung der Differenzenquotienten, ob \( f \) differenzierbar in \( x_{0}=0 \) ist. Sie dürfen voraussetzen, dass \( f \) stetig ist.
(a) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{-x^{2}+1} & {\text { für } x \leq 0} \\ {x^{2}+1} & {\text { für } x>0}\end{array}\right. \)
(b) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x \sin \left(\frac{1}{x}\right)} & {\text { für } x \neq 0} \\ {0} & {\text { für } x=0}\end{array}\right. \)
(c) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)} & {\text { für } x \neq 0} \\ {0} & {\text { für } x=0}\end{array}\right. \) 

Ich habe natürlich  versucht, mich im Internet schlau zu machen und die a) bearbeitet. Den Rest konnte ich nicht, da ich nicht weiß, welche Stellen ich untersuchen muss...

Mein Ansatz für die a)

Um bei der a) auf Differenzierbarkeit zu überprüfen, reicht es aus, wenn ich die links-und rechtsseitige Ableitung betrachte, oder?

Dazu nehme ich die \( h- \) Methode: \( m-\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{0}+h-x_{0}} \)

Um die linksseitige Ableitung zu bestimmen, nehme ich \( -x^{2}+1 \) für \( x \leq 0 \)

Eingesetzt ergibt es dann:

\( \Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-\left(x_{0}+h\right)^{2}+1-\left(-\left(x_{0}\right)^{2}+1\right)}{h}-\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-x_{0}^{2}-2 x_{0} \cdot h-h^{2}+1+x_{0}^{2}-1}{h} \)
\( -\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-2 x_{0} \cdot h-h^{2}}{h}-\frac{h \cdot\left(-2 x_{0}-h\right)}{h}-\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-2 x_{0}-h}{1}-\lim \limits_{h \rightarrow 0}-2 x_{0}-h-\lim \limits_{h \rightarrow 0}-2 x_{0}-0=-2 x_{0} \)

Die linksseitige Ableitung ist also \( -2 x_{0} \)

Um die rechtsseitige Ableitung zu bestimmen, nehme ich \( x^{2}+1 \) für \( x>0 \)

Eingesetzt ergibt es dann:

\( \Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\left(x_{0}+h\right)^{2}+1-\left(x_{0}^{2}+1\right)}{h}-\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x_{0}^{2}+2 x_{0} \cdot h+h^{2}+1-x_{0}^{2}-1}{h} \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-2 x_{0} \cdot h-h^{2}}{h}-\frac{h \cdot\left(-2 x_{0}-h\right)}{h}-\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{-2 x_{0}-h}{1}-\lim \limits_{h \rightarrow 0} 2 x_{0}+h-\lim \limits_{h \rightarrow 0} 2 x_{0}+0=2 x_{0} \)

Als linksseitige Ableitung erhalten ich \( -2 x_{0} \) und als rechtsseitige Ableitung erhalte ich \( 2 x_{0} \ldots \)

Aber da \( -2 x_{0} \neq 2 x_{0}, \) ist die gesamte Funktion nicht in jedem Punkt differenzierbar. Liege ich richtig? Anders wüsste ich es sonst 

Das ist mein Ergebnis, wobei ich mir aber nicht sicher bin. Stimmt das?

Kann mir jemand bei der b) und c) sagen, wie man da auf Differenzierbarkeit überprüft..? Weil ich nicht weiß, wie ich mich von links und rechts an x0 nähern kann.



Ich bedanke mich schon mal für eure Mühe

lg
Domenik

Answer 1

Du sollst nur überprüfen ob die Funktion in x0 = 0
differenzierbar ist

f ( x ) = x^2 + 1
[ f ( x + h ) - f ( x ) ] /  h
[ -(x + h )^2 + 1  - ( x^2 + 1 ) ] /  h
x = 0
[ -(0 + h )^2 + 1  - ( 0^2 + 1 ) ] /  h
[ - h^2 + 1  - 1  ] /  h
-h
lim h −> 0 (+) [ -h ] = 0

Dasselbe für
f ( x ) = -x^2 + 1
[ f ( x - h ) - f ( x ) ] /  h
[ -(x - h )^2 + 1  - ( -x^2 + 1 ) ] /  h
x = 0
[ -(0 - h )^2 + 1  - ( -0^2 + 1 ) ] /  h
[ - h^2 + 1  - 1  ] /  h
-h
lim h −> 0 (+) [ -h ] = 0

Die Funktion istt in x0 = 0 differenzierbar.

Comments

Nachweis über Diff-Rechnung
rechtsseitig
f ´ ( x )  = ( x^2 + 1  ) ´
f ´( x ) = 2x
x = 0
f´( 0 ) = 0

linksseitig
f ´ ( x )  = ( -x^2 + 1  ) ´
f ´( x ) = -2x
x = 0
f´( 0 ) = 0

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Vielen, vielen lieben Dank für deine Antwort.  Ich soll nur x0 = 0 überprüfen, weil die Funktionen links und rechts schon stetig ist, oder???

Falls ja, dann habe ich das hoffentlich begriffen.

Wie genau würde das bei der b)  oder c) funktionieren? Reicht da mein Ansatz für die a)? Also dass, ich das für ein beliebiges x0 zeige? Oder muss ich wieder nur eine Stelle überprüfen?

Weil ich erkenne keine ...

Sorry, dass ich diese Fragen stelle.  Das Thema ist noch neu für mich und muss mich da noch richtig einarbeiten

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Innerhalb der angegebenen Bereiche ist die
Funktion differenzierbar.
Im eingestellten Fragetext steht " überprüfe die
Diff-barkeit in x0  = 0 ". Du sollst den Nachweis nur für
x0 = 0 führen.

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Die beiden anderen Aufgaben sind leider
etwas komplizierter.
Hier ist die Kenntnis der sin-Funktion vonnöten.
sin ( 1 / z )
lim z −> 0
1 / z = ∞
sin (∞ ) ist nicht defniert.
∞ ist keine Stelle auf der Zahlengeraden
und der Funktionswert ist damit nicht
bestimmbar.
Was aber gesagt werden kann
sin (∞ ) schwankt zwischen - 1 und 1

bei b.) ergibt sich : die Steigung ist nicht
definiert.

Für c.) Der Grenzwert der Steigung links und rechts bei x0 = 0
ist null.
Die Funktion ist differenzierbar

Bei Bedarf weiterfragen.

Answer 2

Der Aufwand, den du betrieben hast, ist gar nicht nötig, es genügt:

$$(a)\quad f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\quad f(x) = \left. \begin{cases}     -x^2+1 & \text{für}\quad x \le 0 \\     x^2+1 & \text{für}\quad x \gt 0   \end{cases}\right\} = x\cdot\left|x\right|+1 \\[25pt] f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\cdot\left|x\right|}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\left|x\right|=0.$$

Comments

Danke für deine Antwort.  Wie genau hast du das umgeschrieben? Das ist mir so noch neu

lg

Dome

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Ich habe die sperrige, stückweise Definition der Funktion mithilfe der Betragsfunktion in einen Funktionsterm umgeformt. Der eigentlich Differenzierbarkeitsnachweis ist dann nur noch ein Halbzeiler.

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$$ (b)\quad f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\quad f(x) = \begin{cases} x\cdot\sin\left(\frac 1x \right) & \text{für}\quad x \ne 0 \\ 0 & \text{für}\quad x = 0 \end{cases} $$ $$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{x\cdot\sin\left(\frac 1x \right)}{x}=\sin\left(\frac 1x \right) $$Für \(x\rightarrow 0\) nimmt der Differenzenquotient jeden Wert im Intervall \([-1,1]\) an, daher ist \(f\) an der Stelle \(x_0=0\) nicht differenzierbar.

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$$(c)\quad f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\quad f(x) = \begin{cases}     x^2\cdot\sin\left(\frac 1x \right) & \text{für}\quad x \ne 0 \\     0 & \text{für}\quad x = 0   \end{cases} $$

$$ f'(0)= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\\[20pt]=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot\sin\left(\frac 1x \right)-0}{x-0}\\[20pt]=\lim\limits_{x\to0} \: x\cdot\sin\left(\frac 1x \right)=0.$$Der erste Faktor im vorletzten Term konvergiert gegen Unendlich, während der zweite beschränkt bleibt, sodass der Differenzenquotient insgesamt gegen Null konvergiert.

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Dome271_ : Noch ein Nachtrag:

Wie du siehst, habe ich bei keiner der drei Grenzwertuntersuchungen die von dir offenbar bevorzugte "h-Methode" benutzt. Diese Methode bezweckt eigentlich eine Vereinfachung des Nenners des Differenzenquotienten in der Hoffnung, diesen Nenner nach der Vereinfachung leichter beseitigen zu können.

Da in allen drei Beispielen der Nenner \((x-0)=x\) aber bereits so einfach wie möglich ist, erreicht die h-Methode ihren Zweck, eine noch größere Vereinfachung zu erreichen, natürlich nicht, bewirkt aber unglücklicherweise eine nicht unerhebliche Verkomplizierung des Zählers, wie die angeführten Rechnungen zeigen.

Es ist hier also deutlich einfacher, der Aufgabenstellung zu folgen und die Differenzierbarkeit durch "Betrachtung der Differenzenquotienten" zu entscheiden.

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nicht unerhebliche Verkomplizierung des Zählers

Die ist objektiv nicht gegeben, da   x  =  x_(0) + h  wegen x_(0) = 0  auf  x = h  führt, also lediglich die Verwendung eines anderen Buchstabens darstellt.

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@Gast hj2166: Stimmt, das hatte ich gar nicht genauer betrachtet. Die in meinem Nachtrag geäußerte Aussage über die Verkomplizierung des Zählers ziehe ich daher wieder zurück.

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Vielen, Vielen Dank an ALLE, die mir geholfen haben. Ich konnte leider erst jetzt antworten, da ich lange unterwegs war.

Ich habe die Aufgabe dank euch endlich gelöst.

Noch vielen Dank für eure Geduld. :-)

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Ich habe die Aufgabe dank euch endlich gelöst.

Ich hoffe, dass du dabei ganz deutlich gemacht hast, an welcher Stelle die unabdingbare Voraussetzung der Stetigkeit von f in die Argumentation eingeht.

Bei GB fehlt dieser Aspekt nämlich völlig.