Seien a, b ∈ IR, a < b und f : [a, b] → [a, b] stetig. Fixpunkt zeigen!

Question

Seien a, b ∈ IR, a < b und f : [a, b] → [a, b] stetig. Zeigen Sie, dass f einen
Fixpunkt besitzt. D.h. ∃ x0 ∈ [a, b] : f(x0) = x0. (Rechenweg wenn möglich)

Answer 1

Betrachte die Funktion g(x) = f(x) - x .

Wenn f stetig auf [a,b] ist, dann auch g.  (Differenz steiger

Funktionen ist stetig.

Da  f : [a, b] → [a, b] ,  gilt  f(a) ≥ a, denn kleinere Werte

als a gibt es nicht im Zielbereich der Funktion, also gilt

g(a) = f(a) - a ≥ 0.

Entsprechend g(b) = f(b) - b  ≤ 0

Wenn in einem der Fälle = gilt, ist bei a oder bei b ein Fixpunkt,

denn dann ist f(a) =a  oder f(b)= b.

Ansonsten ist g(a) > 0 und g(b) < b und nach dem Zwischenwertsatz

existiert ein xo mit  g(xo) = 0, also

                    g(xo) = f(xo) - xo = 0

                    <=>     f(xo) = xo .         q.e.d.

Answer 2

  Schön, dass diese Aufgabe wieder kommt.  Ich hatte es schon mal angekündigt; nicht nur Studienräte.  Selbst Profs scheinen unfähig zu sein, zwischen Wertebereich bzw. Zielmenge einer Funktion einerseits und ihrer Bildmenge andererseits zu unterscheiden.

     In aller Regel ist es ja gar nicht ulässig, eine Funktion so knapp zu definieren

     f  :  [  a  ;  b  ]  ===>  [  a  ;  b  ]        (  1  )

     Meist liegt die Beweislast bei dir; du musst dich allererst überzeugen, dass due Bildmenge deiner Funktion in dem vorgegebenen Intervall liegt.

   Das hier stammt so typisch von einem Pfiffikus, der sich am klein Gedruckten delektiert. Er sollte schon sagen

      f  :  |R  ===>  |R       (  2a  )

    f  [  a  ;  b  ]  <  =  [  a  ;  b  ]       (  2b  )

    wobei  ihr das Kleinerzeichen  bitte als Teilmenge nehmt.

   Anmerkung:  Beim ===>  Fixpunktsatz hast du nämlich ganz analoge Forderungen an die ===>  Kontraktion . Du  musst also  NACHWEISEN    (  2b  )