Allgemeines Vorgehen beim Bestimmen von Häufungspunkten.

Question

hallo wie gehe ich vor um alle häufungspunkte zu bestimmen wenn ich eine folge habe, bei der man nicht nach berechnung der ersten 5 stellen das schema erkennt?

Gibt es da ein allgemeines vorgehen um keinen häufungspunkt zu übersehen?

Vielen Dank

Answer 1

Nun, von einem Algorithmus habe ich bislang leider auch noch nichts gehört aber grundsätzlich definierst du dir ja Teilfolgen, von denen du dann den Grenzwert bestimmst. Wenn du darauf achtest, dass alle Teilfolgen zusammen deine "Hauptfolge" ergänzen, dann kannst du keinen einzigen Häufungspunkt übersehen.

ZB: a_n = (-1)^n   Ich bilde nun zwei Teilfolgen von denen ich weiß, sie decken jede Möglichkeit ab. Die erste Teilfolge definiere ich als die, in der ich für n nur gerade Zahlen einsetze, nach Definition sind das alle Vielfache von 2 (hier 2k).

Und die zweite Teilfolge deckt den ganzen Rest ab, also alle ungeraden Zahlen (alle Vielfache von 2 und dann eine 1 addiert, also 2k+1). Daraus folgt dann: wenn ich den limes (-1)^{2k} für k -> unendlich bestimme kommt 1 raus und wenn ich limes (-1)^{2k+1} für k -> unendlich bestimme kommt -1 raus.

Dies sind die zwei einzigen Häufungspunkte der Folge a_n und ich musste nicht die ersten paar Folgenglieder berechnen.

Ich hoffe deine Frage ist zumindest etwas beantwortet?

Comments

Danke, bei dieser Folge ist es mir auch noch klar aber was mache ich zum Beispiel bei dieser Folge:

a_n:
??
zerlege ich da auch in zwei Folgen? Einmal die wo ich 1+1+1,etc und einmal wo ich -1+-1+-1,... zusammenrechnen und berechne dann die grenzwerte?
Wie würde ich da konkret vorgehen?
Vielen Dank

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Also du willst den Grenzwert von berechnen wobei n -> ∞ geht.

das heißt deine Folge, ist eigentlich nur eine Partialsumme (Teilsumme) der REIHE $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ k } } $$

Das musst du auf jedenfall unterscheiden. Diese Folge erinnert stark an die "Geometrische Reihe", die ist so wichtig, dass sie sogar einen eigenen Namen hat ;).Und sie sieht so aus: $$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (q) }^{ n } } $$

Für diese gilt, dass die Reihe nur dann konvergiert, wenn q betragsmäßig < 1 also nur dann wenn |q| < 1 glt.

Ist diese jedoch ≥ 1, dann ist die Reihe divergent! Das ist immer so. Wenn du geometrische Reihe googelst, dann findest du auf allen Seiten einen Beweis.

Da in deinem Fall |-1| nicht kleiner ist als 1 sondern genau gleich 1 muss die Reihe divergieren. Sie hat also keinen Grenzwert und auch keine Häufungspunkte..

Soweit verstanden? Es gibt also unterschiedliche Vorgehensweisen, wenn man Folgen oder Reihen hat.

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Hier ein super Video, wie man am besten bei der geometrischen Reihe vorgehen kann.

http://www.onlinetutorium.com/product_info.php?cPath=51_64&products_id=741