v = [3, √3]T
Frage: Wie viele Vektoren mit Länge 1 gibt es, die mit v einen Winkel von π/6 einschließen?
Es gibt 2 solche Vektoren. Grund: Man kann von v aus sowohl im Uhrzeigersinn, als auch im Gegenuhrzeigersinn drehen.
Berechne sie.
Benutze das Skalarprodukt
v * u = |v| * |u| cos(phi) (I)
u = [x,y]^{T} , wobei x^2 + y^2 = 1 ----> y = √( 1-x^2)
Wegen (I)
3x + √3*y = √(9+3) * √1 *(±cos(π/6) )=± √12 * √3 / 2 = ±3
3x + √3 y = ±3
3x + √3*√(1-x^2) = ±3 (II)
√(3 - 3x^2) = ±3 - 3x |quadrieren . Achtung! Resultate zur Probe in (II) einsetzen zwingend!
Auflösen nach x für die beiden Fälle + und - 3 schaffst du jetzt selbst. Oder?
Resultate zur Kontrolle (ohne Gewähr!)
x1 = 1/2, x2=1
Nun die zugehörigen y-Werte
x1 = 1/2, y1 = ±√(1 - 1/4) = ±√3 /2. u1,2 = [1/2, ±√3/2]^T
x2 = 1, y2= √(1-1) = 0. u3=[1,0]^T
x3 = -1. y3= √(1-1) = 0. u4=[-1,0]^T
Da v im 1. Quadranten liegt, kommen neg. x- und y-Werte nicht in Frage.
==> u1 = [1/2, √3 / 2] und u2 = [1,0].
