Wendestelle der Funktion f(x) = |x^2 - 2x| mit Betrag. (f''(x) ≠ 0)

Question

Diese Funktion \( f(x)=\left|x^{2}-2 x\right| \) hat f''(x) = 2 und f''(x)=-2 , also ist die notwendige Bedingung nicht erfüllt.

Hat sie überhaupt Wendestellen?

Answer 1

Wendestellen sind die Stellen, an denen die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. Die Funktion muss dort aber gar nicht differenzierbar sein.
Deine Funktion besitzt 2 Wendestellen.

Comments

Aus f''(x) sehe ich  , dass sie konvex auf (2;+∞)∪(-∞,o) ist und konkav auf Intervall (0;2) ist.Sie ist auch monoton wachsend  auf (0;1) u (2;+∞) und monoton fallend auf (-∞;0) u (1;2) also ja, sie hat 2 Wendepunkten; aber wie kann ich das zeigen?

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Du hast es doch eigentlich schon gesagt: An einer Wendestelle wechselt die Funktion von konkav zu konvex (oder umgekehrt).
Oder du machst es über das Vorzeichen der zweiten Ableitung (siehe Antwort von Braesig).

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Hm... konkav und konvex sind lokale Eigenschaften. Wo ist die Funktion denn konkav oder konvex?

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Oben steht es ja schon fast, wo die Funktion konvex/konkav ist; allerdings ist mir noch ein Fehler aufgefallen. Die Funktion ist nicht auf \((2,\infty)\cup(-\infty,0)\) konvex, sondern auf \((2,\infty)\) und auf \((-\infty,0)\) (aber nicht auf der Vereinigung dieser Intervalle).
Genauso auch bei der Monotonie.

Answer 2

die notwendige Bedingung beruht ja auf Differentialrechnung - sie setzt stillschweigend voraus, dass die Funktion oft genug differenzierbar ist.

f ist aber an den Nullstellen (0 und 2) nicht differenzierbar.

Das Wesentliche an einer Wendestelle ist der Wechsel der Krümmungsrichtung - also der Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung. Bei genügend oft differenzierbaren Funktionen muss dort immer eine Nullstelle von f´´ vorliegen - hier aber nicht.

f ist erst linksgekrümmt, zwischen 0 und 2 dann rechtsgekrümmt und dann wieder linksgekrümmt.

Damit sind 0 und 2 Wendestellen. Zum Nachweis kannst du eine Vorzeichentabelle der zweiten Ableitung aufstellen.

Das ist wie bei der Betragsfunktion: Deren Ableitung ist auch nirgendwo Null und trotzdem ist klar, dass die Betragsfunktion bei x=0 eine Minimalstelle hat.

Ich hoffe, das hilft dir.

Answer 3

Deine 2.Ableitungen sind richtig.
Es liegt keine Wendestelle vor.