Formel für Stammfunktion erklären bei gebrochen-rationaler Funktion

Question

\( F(x)=\frac{-1}{n-1} f_{n-1}(x-a) \)

für Funktionen der Gestalt

\( f(x)=\frac{1}{(x-a)^{n}} \)

Ich verstehe diese Formel nicht, wenn ich zum Beispiel

f(x) = 1 / (x-2)²

Dann ist F(x) laut dieser Formel:

F(x) = -1/2  f₁ (x-2)

Aber was soll das bedeuten? In der Funktion kann doch nicht mal eben so ein "f" sein.

Answer 1

$$\frac{1}{(x-2)^2} \Rightarrow F(x)=-\frac{1}{2-1}f_1(x-2)=-\frac{1}{x-2}$$

$$F(x)=\frac{-1}{n-1}f_{n-1}(x-a)=\frac{-1}{n-1}\frac{1}{(x-a)^{n-1}}$$

Comments

Sorry, aber irgendwie kann ich deinem Rechenweg nicht folgen...

Kannst du bitte genau beschreiben was du (in der oberen Zeile)gemacht hast?

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$$F(x)=\frac{-1}{n-1}f_{n-1}(x-a)$$

wobei $$f_n(x-a)=\frac{1}{(x-a)^n}$$

Für n=2 und a=2 haben wir folgendes:

$$f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}$$

$$F(x)=\frac{-1}{2-1}f_{2-1}(x-2) \Rightarrow F(x)=-f_{1}(x-2)=-\frac{1}{x-2}$$

Answer 2

.

 -> wo hast du diese Formel her?


irgendwie stimmt da nämlich etwas nicht

Beispiel

wenn, wie zu lesen -> f(x)= 1/(x-a)^n

dann wäre  -> f(x-a) = 1 / ( (x-a)-a) ^n = 1 / (x-2a)^n

und wenn der Index   beim f  die Hochzahl meint, dann wäre es so zu schreiben:

f _n (x) =  1 / (x-a)^n

f _n (x-a) =  1 / (x-2a)^n

und entsprechend ->

f_(n-1) (x-a) = 1 / (x-2a)^{n-1}

so gelesen ist die oben genannte Formel wohl schlicht falsch

.

Answer 3

Hi,
für die Funktion \( f_n(x)=\frac{1}{(x-a)^n} \) ist \( F(x)=-\frac{1}{n-1}f_{n-1}(x) \) eine Stammfunktion und nicht $$ -\frac{1}{n-1}f_{n-1}(x-a) $$