Untersuchen Sie die durch diese Gleichungen bestimmten Mengen im ℝ^{2} (Hauptachsen-Transformation)

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die durch diese Gleichungen bestimmten Mengen im \( \mathbb{R}^{2} \):

a) \( 7 x_{1}^{2}-6 x_{1} x_{2}+7 x_{2}^{2}=20 \)

b) \( 5 x_{1}^{2}+24 x_{1} x_{2}-5 x_{2}^{2}=-13 \)

Transformieren Sie die Menge jeweils auf Ihre Hauptachsen, und zeichnen Sie sie in den neuen und den alten Koordinaten.

Um welchen Winkel sind die Koordinatensysteme jeweils verdreht?

Answer 1

Hi,
zu (a)
die Gleichung $$ 7x_1^2-6x_1x_2+7x_2^2=20 $$ lässt sich auch so schreiben
$$ \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}^T A \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} $$ mit
$$ A = \begin{pmatrix}  7 & -3 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} $$ wie man durch nachrechnen feststellen kann. Die normierten Eigenvektoren der Matrix \( A \) ergeben eine Transformationsmatrix \( T \) für die gilt $$ T^t A T = D $$ wobei \( D \) eine Diagonalmatrix ist die auf der Diagonalen die Eigenwerte \( 4 \) und \( 10 \) von \( A \) stehen hat. Also kann man \( A \) schreiben als
$$ A = T D T^t $$ weil \( T^t = T^{-1} \) gilt. Mit der transformierten Variablen \( z = T^t \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} \) gilt
$$ z^t D z = 4 z_1^2 + 10 z_2^2 = 20 $$ Die letzte Gleichung beschreibt eine Ellipse mit den Halbachsen \( a= \sqrt{5} \) und \( b = \sqrt{2} \)
Grafisch sieht das wie folgt aus, in rot die ursprüngliche Funktion in blau die gedrehte.

Aufgabe (b) wird wahrscheinlich genauso gehen.

Answer 2

Mit der Matrix A =

7   -3

-3   7

hast du

(x1,x2) * A * (x1,x2)^t = 7x1^2 - 6x1x2 + 7x2^2

also die ganze Gleichung

(x1,x2) * A * (x1,x2)^t  = 20

Jetzt A diagonalisieren:

Dazu brauchst du das char. Polynom

(7-z)*(7-z)- 9 =z^2 -14z+40 mit den

Nullstellen 10 und 4

und dazu die Eigenvektoren durch

(A - 10*E)* (x,y)^t = 0 also z.B.  (1,-1)^t

(A - 4*E)* (x,y)^t = 0 also z.B.  (1,1)^t

Für die Transformationsmatrix müssen die die Länge 1 haben

also noch durch wurzel(2) dividieren und du hast T=

1/√2       1/√2

-1/√2      1/√2

und die Diagonalmatrix D=

10   0

0     4

Die neuen Koordinaten sind nun (y1,y2) also

(y1,y2)^t = T * (x1,x2)^t

und im neuen Koordinatensystem ist die Gleichung

(y1,y2) * A * (y1,y2)^t  = 20 

10y1^2 + 4y^2 = 20   | : 20

y1^2 / 2   +  y^2 / 5 = 1

ist also eine Ellipse mit den Halbachsen wurzel(2) und wurzel(5).

und die Transformation ist eine Drehung um - 45°

weil T eine Drehmatrix ist wegen

cos(45°)=sin(45°)= 1/wurzel(2)

Answer 3

Weg über das implizite Differenzieren, wenn die H-T nicht vorgegeben ist:

Ellipse: \(f(x,y)= 7 x^{2}-6 x y+7 y^{2}-20 \)
Ellipse: \(f_x(x,y)= 14x-6 y \)
Ellipse: \(f_y(x,y)= -6 x +14 y \)
Tangentensteigung : Ellipse
\(e'(x)=- \frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}=-\frac{14x-6 y}{ -6 x +14 y}=\frac{7x-3 y}{ 3 x -7 y} \)
Kreis: \(f(x,y)=  x^{2}+ y^{2}-r^2\)
Kreis: \(f_x(x,y)= 2x\)
Kreis: \(f_y(x,y)=  2y\)
\(k'(x)=-\frac{x}{ y} \)
Die beiden Kreise (Groß-und Kleinkreis) berühren nun die Ellipse, wenn die Tangentensteigungen identisch sind:
\(\frac{7x-3 y}{ 3 x -7 y}=-\frac{x}{ y} \)
\(y=x\)  mit \(x≠0 \)
Somit ist die Ellipse um 45° aus der Hauptlage heraus gedreht.
Schnitt mit Ellipse: \( 2x^2=5\)
\(x_1=\sqrt{2,5}\)      \(y_1=\sqrt{2,5}\)     
\(x_2=-\sqrt{2,5}\)      \(y_2=-\sqrt{2,5}\)
Kreis um M\((0|0)\) durch \(B_1(\sqrt{2,5}|\sqrt{2,5})\)
\(x^2+y^2=r^2\):
\(r^2=5\) :
\(x^2+y^2=5\):
Die Lösung \(y=-x\) bringt die Lösungen im 2. und 4. Quadranten
Ellipse: \( 7 x^{2}-6 x\cdot (-x)+7 (-x)^{2}=20 \)

\(x_1=1\)   \(y_1=-1\)

\(x_2=-1\)  \(y_2=1\)

Kreis um M\((0|0)\) durch \(B_1(1|-1)\)

\(x^2+y^2=r^2\):

\(x^2+y^2=2\)

Ellipse:

\( \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1 \)