Mit der Matrix A =
7 -3
-3 7
hast du
(x1,x2) * A * (x1,x2)^t = 7x1^2 - 6x1x2 + 7x2^2
also die ganze Gleichung
(x1,x2) * A * (x1,x2)^t = 20
Jetzt A diagonalisieren:
Dazu brauchst du das char. Polynom
(7-z)*(7-z)- 9 =z^2 -14z+40 mit den
Nullstellen 10 und 4
und dazu die Eigenvektoren durch
(A - 10*E)* (x,y)^t = 0 also z.B. (1,-1)^t
(A - 4*E)* (x,y)^t = 0 also z.B. (1,1)^t
Für die Transformationsmatrix müssen die die Länge 1 haben
also noch durch wurzel(2) dividieren und du hast T=
1/√2 1/√2
-1/√2 1/√2
und die Diagonalmatrix D=
10 0
0 4
Die neuen Koordinaten sind nun (y1,y2) also
(y1,y2)^t = T * (x1,x2)^t
und im neuen Koordinatensystem ist die Gleichung
(y1,y2) * A * (y1,y2)^t = 20
10y1^2 + 4y^2 = 20 | : 20
y1^2 / 2 + y^2 / 5 = 1
ist also eine Ellipse mit den Halbachsen wurzel(2) und wurzel(5).
und die Transformation ist eine Drehung um - 45°
weil T eine Drehmatrix ist wegen
cos(45°)=sin(45°)= 1/wurzel(2)