Wie berechnet man die Extrempunkte der Funktion f(x)= x³ - 6x² + 9x - 2?

Question

wie berechnet man die extrempunkte.

Answer 1

Hi,

für die Extrempunkte solltest Du Dir im Hinterkopf behalten, dass die erste wie auch zweite Ableitung eine wichtige Rolle spielen, denn f'(x)=0 und f''(x)≠0 ist die hinreichende Bedingung für ein Extremum.

 

f'(x)=3x²-12x+9

f''(x)=6x-12

 

Also beginnen wir mit f'(x)=0

3x²-12x+9=0

x²-4x+3=0

pq-Formel mit p=-4 und q=3

x₁=1    und    x₂=3

 

Um die Art des Extrempunktes festzustellen müssen wir damit in die zweite Ableitung. Ist diese ungleich 0 wie oben verlangt, haben wir einen Extrempunkt. Ist die zweite Ableitung >0 haben wir einen Tiefpunkt, im anderen Fall eienn Hochpunkt.

 

f''(1)=6*1-12=-6         -> Extrempunkt an Stelle x₁=1 ist Hochpunkt

f''(3)=6*3-12=6           -> Extrempunkt an Stelle x₂=3 ist Tiefpunkt

 

Die Stellen sind bekannt, sowie die Art des Extrempunktes. Muss nur noch der Punkt selbst bestimmt werden, also der y-Wert.

-> Die gefundenen Stellen in f(x) einsetzen.

Es ergibt sich ein Tiefpunkt T(3|-2) und ein Hochpunkt H(1|2).

 

Grüße

Comments

kannst du mir vielleicht auch helfen ich habe das Problem das ich als erste Ableitung 3 als Exponent habe und somit ja nicht die pq Formel nutzen kann ( f '(X) =8x³ -18x² + 8 )

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Kannst Du das in einer neuen Frage stellen? Das hat hier nix verloren^^.

Dann aber kann ich gerne helfen.

→ https://www.mathelounge.de/144288/wie-berechnet-man-die-extrempunkte-der-funktion-f-x-8x-18x-2-8

Answer 2

Ein Polynom dritten Grades hat maximal 2 Stellen mit einer horizontalen Tangente. Findet man 2 Stellen, bei denen die erste Ableitung Null ist, liegen an diesen Stellen automatisch genau ein Hoch- und ein Tiefpunkt. 

Rechenweg:

f(x)= x³ - 6x² + 9x - 2 

f ' (x) = 3x^2 - 12x + 9 

3x^2 - 12x + 9 = 0       |:3

x^2 - 4x + 3 = 0

Faktorisieren

                  |3 in Produkt verwandeln und dafür sorgen,

                  | dass Summe der Faktoren - 4 gibt.

(x - 3)( x -1) = 0

x₁ = 3, x₂ = 1

Zugehörige y-Werte

f(1)= 1 - 6*1 + 9*1 - 2 = 2

f(3)= 3³ - 6*3² + 9*3 - 2 = 27 - 54 + 27 - 2 = -2

Da f(1) > f(3), ist H(1|2) ein Hochpunkt und T(3|-2) ein Tiefpunkt.