Zerlegung von Linearfaktoren: f(x)=x³-6x²+9x sowie Nullstellen und Tangente

Question

Gegeben ist die Funktion: f(x) = x³ - 6x²+ 9x; x ∈R

a) Zerlegen Sie f(x) in Linearfaktoren, bestimmen Sie die Nullstellen und zeichnen Sie den Graphen.

c) Bestimmen Sie den Punkt P (u | f(u) ) so, dass die Tangente an f(x) in P parallel zur Tangente an f(x) im Ursprung ist.

 

 

Answer 1

a)

 in Faktoren zerlegt lautet die Funktion

f(x)=x³-6x²+9x⇒x(x²-6x+9)

      =x(x-3)²

 Die Nullstellen sind bei  (0|0)  und  (3|0)

Zum Zeichnen eine W

Wertetabelle

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-50	-16	0	4	2	0	4

ertetabelle erstellen und dann die Punkte übertragen

 

Answer 2

f(x) = x^3 - 6x^2+ 9x; x ∈R

c) Bestimmen Sie den Punkt P (u | f(u) ) so, dass die Tangente an f(x) in P parallel zur Tangente an f(x) im Ursprung ist.

Steigung der Tangente im Ursprung? und in P?

f ' ( x) = 3 x^2 - 12x + 9

Im Ursprung: f ' (0) = 9

In P               : f ' (u) = 3 u^2 - 12u + 9  | gleichsetzen =9

3 u^2 -12u + 9 = 9          |-9

3 u^2 - 12 u = 0             

3u ( u- 4) =0

u₁ = 0; schon bekannt (Ursprung)          t₁ : y = 9x + 0

u₂ = 4;   f(u₂)= f(4) = 4^3 - 6*4^2 + 9*4 = 4                  P(4/4)

 t₂ : y = 9x + q           P einsetzen

4 = 9*4 + q            

-32 = q

t_2:  y = 9x -32

Probe: Plott

       

Die Nullstellen die Akelei schon berechnet hat bei der Faktorisierung sind hier ablesbar als 0 und 3

Deshalb f(x) = a x(x-3)²       a nicht direkt aus der Skizze ablesbar. Ist aber 1.

Answer 3

Gegeben ist die Funktion: \(f(x) = x^3 - 6x^2+ 9x; x ∈ R\)

a) Zerlegen Sie f(x) in Linearfaktoren, bestimmen Sie die Nullstellen und zeichnen Sie den Graphen.

Die erste Nullstelle liegt bei   \( N_1(0|0)\)

\(f´(x) = 3x^2 - 12x+ 9\)      \( x^2 - 4x+ 3=0\)

\( (x - 2)^2=-3+4=1\)

\( x - 2=1\)

\( x_2    und    x_3=3 \)  \(f(3) = 3^3 - 6*3^2+ 9*3=0\) Hier ist somit eine doppelte Nullstelle.

\(f(x) = x^3 - 6x^2+ 9x=x*(x-3)^2\)