Gesamtkosten berechnen

Question

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.. 

''Die Gesamtkosten können mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berechnet werden. Stellen Sie die Gleichung auf, wenn folgende Informationen gegeben sind.
Die Gesamtkosten betragen für zwei ME 23 GE. Die Stückkosten der Gesamtkosten betragen für 3 ME 25/3 GE/ME. Die Fixkosten belaufen sich auf 16 GE. Das Betriebsoptimum liegt bei 4 ME. Die langfristige Preisuntergrenze beträgt 7,5 GE/ME.

Kontrolle: K(x) = 0,5x³ - 3x² + 7,5 x + 16

Ich bin echt verzweifelt und dankbar für jede gute Antwort.. 

LG

Answer 1

Gesamtkosten K(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d weil 3. Grades.
Stückkosten   s(x) =  K(x) / x

K(2) = 23  
s(3)= 25/3   also K(3)=25
K(0)=16
s ' (4) = 0  denn Betriebsoptimum ist Minimum der Stückkostenfunktion
s(4) = 7,5 das sind die Stückkosten beim Betriebsoptimum.

s  (x) =   K(x) / x=  ax^2 + bx + c + d/x  und weil d=16 ist gilt
s(x) = ax^2 + bx + c + 16/x

Dann ist s ' (x) = 2ax + b - 16/x^2

Dann kannst du aus den 5 Bedingungen oben Gleichungen aufstellen
ich setze überall schon mal d=16 ein:

8a + 4b + 2c + 16 = 23
27a + 9b + 3c + 16 = 25
8a  + b  -16/16 = 0
gibt
  8a +4b + 2c = 7
27a +9b +3c = 9
 8a  +b           = 1
Auflösen gibt a=0,5  b=-3   c=7,5   und d hatten wir schon d=16
Damit K(x)=   0,5x^3 - 3x^2 +7,5x + 16

Muss man noch prüfen, ob das mit der langfristigen Preisuntergrenze
stimmt, also ob wirklich  s(4)=7,5 ist
Einsetzen bei s(x) = K(x)/x zeigt: stimmt