Kanalberechnung. Ein ellipsenförmiger Kanal droht zu überlaufen.

Question

Ich habe einen Kanal der droht über zu laufen!

der Kanal hatt eine Elipsenform und ist 1,40 Meter tief und oben 7,90 breit und 1550 Meter lang!

Das THW setzt nun Pumpen eine um ein Überlaufen des Kanals zu verhindern!

Sie schaffen es den Wasserspiegel innerhalb von 12Stunden um 42 cm zu senken!

welche gesamtleistung x= l/ min  haben die eingesetzten Pumpen

wann y= min wird ein Wasserstand von 90 cm erreicht?

ich freue mich schon auf eure hoffentlich richtigen Antworten

DANKE

Answer 1

a) Berechnen der Leistung:

Als erstes berechnen wir das Volumen, das abgepumpt wurde. Dafür nehmen wir die Grundfläche des Kanals mal dem Sinken des Wasserspiegels:

42cm * 7,9m * 1550m = 0,42m * 7,9m * 1550m = 5142,9 m³ = 5142900 l

12 Stunden haben 12*60 min = 720 min, also beträgt die Pumpleistung:

 

P = 5142900l / 720 min ≈ 7142,9167 l/min

 

b) Wenn wir mal davon ausgehen, dass der Kanal am Anfang komplett gefüllt ist, dann müssen 50cm abgepumpt werden, damit noch 90cm Wasserstand übrig sind.

50cm entsprechen 0,5m*7,9m*1550m = 6122,5 m³ = 6122500 l

Die benötigte Zeit erhält man dann, indem man diese Menge durch die Pumpleistung teilt:

t = 6122500l / 7142,9167 l/min ≈ 857,14 min ≈ 14,3 h

Das dauert also ungefähr 14,3 Stunden.

Comments

Spielt die Ellipsenform des Kanals dabei keine  Rolle?

---

Ach Mensch, natürlich. Und jetzt kann ich es nichtmal auf die Uhrzeit schieben. Das macht es erheblich schwieriger.

Aber ich kümmer mich drum. :-)

---

Insbesondere ist die Aufgabe so nicht mehr eindeutig gestellt.

Ich nehme einfach mal an, dass die folgende Kanalform (im Querschnitt) gemeint ist:

Für die nächste Aufgabe muss nun die obere Fläche im folgenden Bild berechnet werden:

und mit der Länge 1550m malgenommen werden.

(Okay, man muss dazu sagen, dass das Bild nicht den echten Proportionen entspricht.)

Dafür benutzt man am besten die folgende Darstellung der Ellipse:

$$y = \pm \frac { b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } }$$

mit den Halbachsen a und b, die in diesem Fall

a = 1.4 m

b = 3.95 m

lauten.

Man erhält die folgende Graphik:

Für die gesuchte Fläche muss nun das Integral von 0 bis 0.42 berechnet und mit zwei malgenommen werden.

Die gesuchte Fläche ist also

$$\int _ { 0 } ^ { c } \frac { b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } }$$

Die Lösung des Integrals kann zum Beispiel folgendermaßen erfolgen:

$$\int \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } d x$$

Substituiere: $x = a \sin ( t ) , \quad d x = a \cos ( t ) d t , t = \arcsin \frac { x } { a }$

$$= a ^ { 2 } \int \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } t } \cos ( t ) d t = a ^ { 2 } \int \cos ^ { 2 } ( t ) d t = \frac { a ^ { 2 } } { 2 } ( t + \sin ( t ) \cos ( t ) )$$

$$= \frac { a ^ { 2 } } { 2 } \left( \arcsin \frac { x } { a } + \frac { x } { a } \cos \arcsin \frac { x } { a } \right)$$

Nun könnte man noch cos(arcsin(a/b)) = sqrt(1-x²/a²) verwenden, aber da ja sowieso Zahlenwerte gegeben sind, muss das nicht unbedingt sein.

Der Ausdruck muss nun noch mit 2b/a malgenommen werden und von 0 bis c ausgewertet werden.
Mit den entsprechenden Zahlenwerten erhält man dann:

A ≈ 3.2675 m²

Damit erhält man für das Volumen:

V ≈ 3.2675 m² * 1550m = 5064,625 m³ = 5064625 l

Also für die Leistung

5064625l / 720 min = 7034,201 l/min

Nun muss entsprechend für die nächste Aufgabe die Fläche zwischen 0 und 0.9 berechnet werden. Auf dem selben Weg erhält man

A₂ = 6.5843 m²

V_{2 =} 10205665 l

t = V₂/P ≈ 1450,86 min = 24,1811 h