Welchen Rest hinterlässt die Division...

Question

$$(x^{17}-x^3+3x-1) \div (x+2)$$

In der Musterlösung steht: $$R = p(-2) = -131071$$

Scheinbar wurde hier nicht dividiert, sondern die Lösung lässt sich durch Einsetzen der bekannten Nullstelle eruieren. Aber wieso?

Answer 1

Hi, wie Du sicher leicht herleiten kannst, gilt
$$ R=p(x)-q(x) \cdot (x+2) $$ für den nicht von \(x\) abhängigen, also konstanten, Rest \(R\) und ein nicht bekanntes, aber auch nicht gesuchtes, Polynom \(q\). Um \(R\) zu ermitteln, könnten wir nun beliebige Zahlen für \(x\) einsetzen. Das Einsetzen von genau \(x=-2\)  zeichnet sich nun vor anderen Zahlen dadurch aus, das dabei auch gleich das unbekannte Polynom \(q\) verschwindet und nur noch \(p(-2)\) berechnet werden muss. Ich hoffe, ich habe mich verständlich genug ausgedrückt!

Comments

:O So einfach ist das. Wer hätte das gedacht (ich nicht).

Gut, besten Dank! (: