Aussagen von Matrizen beweisen: Mat_a invertierbar, diagonalisierbar, Inverse etc.

Question

Sei K ein Körper, A ∈ Mat_n(K) eine Matrix und

σ(A) = {λ ∈ K | Ax = λx fur ein  x ∈ Kⁿ, x ≠ 0} ⊂ K

ihr Spektrum, also die Menge der Eigenwerte. Sei r ≥ 0 eine natürliche Zahl. ¨

Verifizieren Sie die folgenden Aussagen:

(1) Die Matrix A ist invertierbar genau dann, wenn 0 ∉ σ(A).

(2) Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so auch das Inverse A⁻¹

(3) Gilt λ ∈ σ(A), folgt λ^r ∈ σ(A^r).

(4) Falls A^r = 0, so muss σ(A) = {0}.

(5) Gilt A² = E, dann haben wir σ(A) ⊂ {±1}.

Ich weiß nicht wie ich das machen muss. Wie geht das?

Answer 1

(2) Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so auch das Inverse A⁻¹

A invertierb diagonalisierbar ⇒ Es gibt Transformationsmatrix T mit

T^{-1} * A * T = D und D hat Diagonalform und D ist auch invertierbar ⇒

A * T = T * D   ⇒   T = A^-1 * T * D    ⇒   T * D^{-1} = A^{-1} * T

⇒ D^{-1} =   T^{-1}  *  A^{-1} *  T   Also ist A(-1) diagonalisierbar und die Diagonalmatrix ist

die Inverse von D und die Transformationsmatrix die gleiche wie bei A.

(3) Gilt λ ∈ σ(A), folgt λ^r ∈ σ(A^r).    Ich nehme mal L statt Lambda

L∈ σ(A) ⇒ Es gibt x aus K^n ohne 0 mit A*x = L*x  ⇒ A*(A*x) = A *(L*x)

⇒ (A*A)*x = L*(A *x) [gängige Gesetze für das Rechnen mit Matrizen]

⇒ (A*A)*x = L*(L *x) weil L Eigenwert für x

⇒ A^2*x = L^2 *x      So könnte man das per Induktion für alle r zeigen.

(4) Falls A^r = 0, so muss σ(A) = {0}.

Folgt wie in (3) und aus 0-Matrix hat nur Eigenwerte L=0, denn hätte

sie andere, so wäre 0 * x = L * x mit einem x ungleich 0. Widerspruch!

(5) Gilt A² = E, dann haben wir σ(A) ⊂ {±1}.

Ist L Eigenwert von A, dann ist (siehe (3) L^2 Eigenwert von A^2.

Hätte A keine Eigenwerte, ist die Aussage wahr. Hat A Eigenwerte,

so gilt:

E hat aber nur den Eigenwert 1, also L^2 = 1 also L=1 oder L = -1

(1) Die Matrix A ist invertierbar genau dann, wenn 0 ∉ σ(A).

Sei A invertierbar und L ein Eigenwert von A.

dann gibt es ein x ungleich 0 aus K^n mit A*x= L*x
dann ist A^{-1}*x= L^{-1}*x  denn x = E*x = A^{-1}*A*x = A^{-1}*L*x = L*A^{-1}*x
Und aus x = L*A^{-1}*x mit x ungleich 0 folgt L ungleich 0 .

Ist umgekehrt A nicht invertierbar, dann ist Rg(A)<n und damit dim Kern(A) > 0.
Also gibt es ein x aus K^n mit x ungleich Null und A*x=0, also hat A den
Eigenwert 0.

Answer 2

ein paar Hinweise:

1) Ich würde hier die Kontraposition zeigen: Also die Aussage

\(A\) ist nicht invertierbar genau dann, wenn \( 0 \in \sigma(A)\).

2) Ist \(A\) diagonalisierbar so existiert ja eine invertierbare Matrix \(S\) mit \( A = SDS^{-1} \), wobei \(D\) die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist. Aus (1) kannst du folgern, dass \(D\) invertierbar ist. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass \(A^{-1} \) diagonalisierbar ist.

3) Kannst du aus \( Ax = \lambda x \) folgern.

4) und 5) Kannst du aus 3) folgern.

Gruß