Integralrechnung mit Intervall von 0 bis xo

Question

Integralrechnung von 0 bis Variable x, also quasi unbestimmt?! Wie geht das?

also die Aufgabe ist:

obere Grenze: x₀
untere Grenze: 0

mit (2x+3) • dx

und einmal eine andere Aufgabe ist:

obere Grenze: x₀
untere Grenze: 0

mit (2x²+3x+1) • dx

und nun? Also das Problem hierbei ist ja, das man keinen konkreten Intervall hat... (heute hatte ich meine erste "Intervallstunde") deshalb wäre ich froh wenn mir einer erklären kann, wie man das rechnet.

Answer 1

∫ (2x+3) • dx  = x^2 + 3x + C |₀^xo

= xo^2 + 3xo + C - (0^2 + 3*0 + C) 

= xo^2 + 3xo

Grenzen beim Integralzeichen bitte selbst noch ergänzen.

∫ (2x²+3x+1) • dx 

= 2/3 * x^3 + 3/2 * x^2 + x + C |_o^xo
= 2/3 * xo^3 + 3/2*xo^2 + xo + C - ( 0+0+0+C)
= 2/3 * xo^3 + 3/2*xo^2 + xo

Answer 2

kann es sein, dass die Integralfunktion gesucht ist? Dann sieht die erste Aufgabe folgendermaßen aus:

Man wendet da den Hauptsatz der Integralrechnung an, wobei die Grenzen 0 und x sind. Möglich, dass ihr nur das "Aufleiten" üben sollt. Die Stammfunktion der 2. Funktion ist auch klar, oder?

LG,

Alex

Answer 3

also entweder du musst eine fläche gegeben haben, damit du nach der grenze umstellen kannst oder du rechnest einfach so mit der obergrenze x0, also ohnen einen zahlenwert auszurechnen, dein ergebnis wird ein term sein

Comments

Versteh ich nicht. Wie gesagt erste Integralstunde.

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dann kannst du ganz einfach die formel für ein bestimmtes integral vewerwenden:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

also musst du die Stammfunkton bestimmen:

das ist sozusagen das gegenteil von einer ableitung, ich hoffe das ist bekannt.

also musst du einfach die funktionswerte der stammfunktion voneineinander abziehen, aber merke:

Obergrenze minus Untergrenze.

bei funktionen mit einer nullstelle im intervall muss die nullstelle als aufspaltungspunkt des intervalls gesehen werden.

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{x_o}^{b}f(x)dx+\left | \int_{a}^{x_0}f(x)dx \right |$$ $$=F(b)-F(x_0)+\left |F(x_0)-F(a)  \right |=A_1+|A_2|$$

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Formel für Flächen OBERHALB der x achse $$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

und flächen UNTERHALB der x achse:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\left |F(b)-F(a)  \right |$$

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Ja das verstehe ich ja..  Aber wie soll ich das machen, wenn für X null gar kein Wert vorliegt? PS: die obere Grenze war x0 und die untere null. Aber wann man zum Beispiel jetzt die obere Grenze 4 und die untere 0 hat, also das Intervall von 0 bis 4 dann verstehe ich das ja mit der Formel. Aber meine Mathelehrerin hat uns aufgeben, das irgendwie mit X0 zu bestimmen :D

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dann wirst du wie gesagt, einfach ohne zahlenwerte einzusetzen mit der variablen x0 rechnen, dann wirst du einen term als ergebnis haben, so würde die rechnung in etwa aussehen:

$$f(x)=2x+3$$

$$F(x)=x^2+3x+C$$

$$\int_{0}^{x_0}\left(2x+3  \right) dx$$

$$=\left [ F(x) \right ]_0^{x_0}$$

$$=F(x_0)-F(0)$$

$$=(x_0^2+3x_0+C)-(0^2+3\cdot 0+C)$$

$$=x_0^2+3x_0$$

$$=x^2+3x$$

hier habe ich einfach den indizie 0 entfallen lassen.

Und wir sehen, dass ein bestimmtes integral mit variabler obergrenze und untergrenze 0 immer gleich der stammfunktion der funktion ist. Konstante muss noch hinzugefügt werden, da sie sich bei bestimmten integralen immer rauskürzt kann sie normalerweise vernachlässigt werden aber um die stammfunktion anzugeben sollte man immer dieses +C anhängen.

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nein ich glaube, was mit x0 gemeint war war, das kein Wert festgelegt ist, sondern bis unendlich geht...

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aber wie will man das verrechnen bzw. das handhaben?
ich kann mir nicht vorstellen wie man das dann aufschreibt weil du hast ja dann sozusagen ₀∫^∞f(x)dx=F(∞)-F(0)