Untersuchen Sie die Entwicklung der Zebrapopulation für verschiedene Werte von a (Matrizen)

Question

Aufgabe - Populationsentwicklung von Zebras:

Eine Population von Zebras in einem Nationalpark wird in Altersklassen eingeteilt. J: Jungtiere; E: ausgewachsene Tiere; A: Alttiere Die Entwicklung der Population von einem Jahr zum nächsten wird durch die folgende Matrix beschrieben:

      J    E   A
      0    0   2  J
M =   a    0   0  E
      0  0,8   0  A

\( M=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0\end{array}\right) \)

Zu Beginn der Untersuchung wird der Nationalpark von 40 Jungtieren, 20 ausgewachsenen Tieren und 25 Alttieren bevölkert.

a) Erläutern Sie mithilfe eines geeigneten Diagramms den Sachzusammenhang und die Bedeutung des Parameters a.

b) Untersuchen Sie die Entwicklung der Zebrapopulation für verschiedene Werte von a über einen Zeitraum von 12 Jahren.

c) Bei welchem Wert des Parameters a würde die Population insgesamt alle drei jahre um 4 % wachsen?

Answer 1

Du hast deine Populationsmatrix M . Wenn du nun einen Vektor v hast :

v:
J
A
E

Dieser Vektor beschreibt die jetzige Population. Wenn du die Population für das nächste Jahr g(J2,E2,A2) berechnen möchtest, rechnest du :
M *v =g

Schreibt man dieses Produkt aus hast du :
0*J+0*E+2*A = J2

a*J+0*E+0*A=E2

0*J+0,8*E+0*A =A2

Daran kann man sehen,wie sich die Faktoren wirksam machen.

Es gibt im nächsten Jahr 2*A Jungtiere, also pro Alttier im 1. Jahr  gibt es im folgendem doppelt so viele.

a gibt den Faktor der Jungtiere an,die im nächsten Jahr zu ausgewachsenen Tieren werden.

Und 0.8 der erwachsenen Tiere, sind im nächsten Jahr Alttiere.

Soviel zur Erklärung. Die anderen Aufgaben schaffst du alleine?

Comments

Wie kommt man auf J2, E2, A2? Also auf die 2?

War das jetzt alles zu a)? 

Könnte ich auch noch Hilfe bei b) und c) bekommen? 

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J2 E2 und A2 sind einfach andere Variablennamen. Könnte man auch einfach a, b und c nennen.
Ja das war alles zu a. Ich habe es nur J2 E2 und A2 genannt weil die Variablen an dieser Stelle für die neuen Jungtiere ,erwachsenen Tiere  und Alttiere stehen.
Wo gibt es denn Probleme?
b) ist doch einfach M^12 und dann mal (40,20,25)

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Dankeeeee :) also das hoch 12 kann ich nachvollziehen, aber wieso mal 40,20,25? Darauf würde ich nicht kommen, weil da ja steht für verschiefene Werte von a? 

Und bei c ) ? Das ist glaube ich sehr schwer oder?

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Weil das der Anfangsbestand an Tieren ist.

c) ist nicht schwer.

Komm nur grade nicht auf den Ansatz,weil ich das nur in der Schulzeit gebracht habe und bin mir unsicher,wie es geht. Muss ich nochmal schauen.

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Okay bin trotzdem dankbar hast mir bei a und b geholfen:)

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Okay ich wusste es doch,habs aber leider nicht nachgerechnet vorher.

2*0,8*a=1,04

Dies muss gelten.

1,04/1,6=a
a=0.65

Warum das so ist?

Multiplizieren M^3 aus.

Du erhältst:

1,6a     0            0

0          1,6a       0

0         0           1,6a

Du hast also auf jedem Wert in der Diagonalen die drei Werte 2*0,8*a multipliziert.

Schickst du jetzt einen Vektor ( J  , E , A )  auf diese Matrix erhältst du :
1,6a * J

1,6a * E

1,6a* A

Das ist also das selbe wie 1,6*a ( J,E ,A ) . Da (J,E,A ) dein Anfangsbestand ist, folgt daraus ,dass 1,6*a dein Wachstumsfaktor ist. Also egal,wie du dir deinen Anfangbestand wählst, du erhältst nach 3 Jahren das 1,6*a - fache als Bestand.

Klingt logisch ,oder?

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Finde es aber ziemlich schwer.. Habe es um ehrlich zu sein nicht so gut verstanden..

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c) Hast du nicht verstanden?

Probiere es doch mal anhand eines Beispiels aus:
M^3 habe ich dir ja schon berechnet.

Setze dein a = 0.65 .

Jetzt nehme dir einen Vektor z.b. : (25, 25 , 50 )       (das sind Gesamt 100 Tiere )

Multipliziere die Matrix mit dem Vektor. Aber am besten per Hand.  Welchen Vektor erhältst du? Wieviele Tiere gibt es dann nach dem multiplizieren?( nach 3 Jahren)