Wie kommt man auf lim für x gegen 0 x^x = 1?

Question

Hallo (:

frage steht oben .

lim x^2 = 1

für x gegen 0

Wie kommt man darauf?

Nachtrag Korrektur: lim _x→0 x^x = 1

Comments

Ich hab die Korrektur oben nachgetragen. Brauchst du denn noch eine weitere Begründung? Das Folgende ist der Graph von f(x) = x^x. Der Grenzwert existiert offensichtlich nur von rechts.

Answer 1

Gar nicht. Hast Du da vielleicht was falsch abgeschrieben? ;)

 

lim_x->0 x²=0

 

Grüße

 

Answer 2

So ist das nicht richtig.

lim _x→0 x^2 = 0^2 = 0

Kann es sein das du

lim _x→0 2^x = 2^0 = 1

meinst? Oder vielleicht sogar

lim _x→0 x^x = 1

Comments

genau .

lim x→0 x^x = 1 habe ich gemeint danke !

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Nun steht im Exponenten ein Ausdruck -∞ / ∞ und wir dürfen die Regel von Hospital anwenden. Ich betrachte im Folgenden nur den Expontenten:

ln(x) / x^{-1} --> x^{-1} / -x^{-2} = -x

Damit geht der Exponent gegen 0 und der Term e^0 geht dann gegen 1.

 

Answer 3

Definiere  f  durch  f(x) := x·log(x) = log(x)/(1/x).
Für  x → 0  hat  f  die Form "-∞/∞". Es gilt nach der Regel von de l'Hospital
lim_x→0 f(x) = lim_x→0 (1/x)/(-1/x²)) = lim_x→0 (-x) = 0.
Anwenden der Exponentialfunktion ergibt
lim_x→0 e^f(x) = e^{lim_x→0 f(x)} = e⁰ = 1.
Die Behauptung folgt nun aus  e^f(x) = x^x.