Aufgabe:
(a) Wir betrachten die Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit
\( \varphi\left(\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} x-y \\ y-x \\ x \end{array}\right] \)
(i) Weisen Sie nach, dass \( \varphi \) eine lineare Abbildung ist.
(ii) Bestimmen Sie den Kern von \( \varphi \).
(iii) Bestimmen Sie das Bild von \( \varphi \).
b) Gegeben ist die Abbildung \( f: \) Mat \( _{2 \times 2}(\mathrm{R}) \rightarrow \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \) mit \( f(A)=A M-M A \), wobei \( M=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right] \) ist.
(i) Zeigen Sie, dass \( f \) eine lineare Abbildung ist.
(ii) Ermitteln Sie den Kern von \( f \).
Verständisfrage:
Ist mit A eine beliebige Matrix gemeint?
