Lineare Abbildung zu Matrix

Question

Aufgabe:

Gegeben: Lineare Abbildung f:

f : R^n+1 →R^n+1, f₁(x)=x₁ − x_n+1, f_i(x)=x_i − a_i-1*x_i-1 (i=2,...,n+1)

Aufgabe: Geben Sie die darstellende Matrix M von f an

Problem/Ansatz:

Ich habe schon versuch mehrere Ansätze zu finden, wie man eine lineare Abbildung in die darstellende Matrix umwandelt.

Auf der Suche bin ich jedoch auf keine für mich verständliche Erklärung zugestoßen.

Answer 1

Hallo,

Gesucht ist ja letztlich eine Matrix \(M\), mit der man ein \(f(x)\) so berechnen bzw. darstellen kann:$$f(x)= M \cdot x \quad\quad x \in \mathbb R^{n+1}$$Wenn Dir die Beschreibung unklar ist, setzte doch \(n\) auf einen (nicht zu) kleinen Wert - z.B. \(n=5\) und schreibe die 6 Zeilen für die 6 Koeffizienten einfach mal hin:$$f_1(x)= x_1-x_6 \\f_2(x) = x_2 - a_1\cdot x_1\\ f_3(x)=x_3-a_2\cdot x_2 \\ f_4(x) = \dots$$und genau diese Gleichungen ordnet man nun nach dem Index von \(x_i\) (Matrizenmultiplikation sollte Dir bekannt sein!)$$\begin{array}{}&x_1&x_2&x_3&x_4&x_5&x_6\\\hline f_1=& 1&&&&&-1\\ f_2= &-a_1&1\\f_3=&&-a_2&1\\f_4=&&&\dots\end{array}$$Und dann sollte es doch schon klar sein, wie der Hase läuft. Allgemein sähe es dann etwa so aus:$$f\left(\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ \\\vdots \\ \\ x_{n+1} \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1 & 0& &\dots& 0 &-1 \\ -a_1& 1& 0& &\dots &0 \\ 0& -a_2& 1& 0&\dots &0 \\ \vdots& & \ddots& \ddots &&\vdots\\0& \dots& 0& -a_{n-1}& 1&0\\0& &\dots&0& -a_n& 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ \\\vdots \\ \\ x_{n+1} \end{pmatrix}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Danke für deine Hilfereiche Antwort!

Ich hätte noch eine Frage zu einer sehr ähnlichen Aufgabe:

f : R^n+1 → R^n+1, \( \begin{pmatrix} x\\ξ\\ \end{pmatrix} \) -> \( \begin{pmatrix} x + ξ ·b\\cT x + ξ\\ \end{pmatrix} \) 

Bestimmen Sie die darstellende Matrix M von f und geben Sie sie in Block-
matrixschreibweise an.

Hier wird kein n angegeben und bin mir recht unsicher wie man hier voran geht.

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Bestimmen Sie die darstellende Matrix M von f

Wie man es genau hinschreibt hängt davon ab, um was es sich bei \(x\), \(b\), \(c\), \(T\) und \(ξ\) handelt. Ich vermute mal$$x,\space b,\space c \in \mathbb R^n, \quad T \in \mathbb R^{n\times n}, \quad ξ \in \mathbb R$$(wenn \(T\) quadratisch ist, was nicht sein muss)

Dann wäre$$M = \begin{pmatrix} \underline 1& b\\cT & 1\\ \end{pmatrix}$$und \(M \in \mathbb R^{(n+1)\times (n+1)}\). Das Element links oben \(\underline 1\) ist eine Einheitsmatrix der Größe \(n\times n\). Der Ausdruck \(cT\) müsste streng genommen \(c^TT\) heißen und wäre ein Zeilenvektor der Länge \(n\).

Hier wird kein n angegeben

Muss auch nicht. Wichtiger wäre zu wissen was \(x\), \(b\) usw. sind (s.o.)

... und geben Sie sie in Block-matrixschreibweise an.

was ist 'Block-matrixschreibweise'?

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Sei n ∈ ℕ und b, c ∈ ℝ^n

In \( \begin{pmatrix} x\\ξ\\ \end{pmatrix} \)  sei dabei x∈ℝ und ξ∈ℝ

Das sind die gegebenen Daten.

die nächste Aufgabe dazu wäre auch den Rang und die det von M in Abhängigkeit von b und c zu berechnen.

Blockmatrix ist genau wie du schon angegeben hast eine 2x2 Matrix.

Ich versteh aber nicht so genau wie du auf M hier gekommen bist ...

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Also Rang und Det sind kein Problem für mich. Nur die darstellende Matrix zu ermitteln ist das Problem, weil die Aufgaben basieren immer auf die Aufgabe davor, weshalb ich ziemlich aufgeschmissen bin, wenn ich die darstellende Matrix nicht hinkriege.

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... weshalb ich ziemlich aufgeschmissen bin, wenn ich die darstellende Matrix nicht hinkriege

wobei dies doch im Grunde der einfachste Part ist!

Jetzt vergessen wir mal kurz, dass \(b\) und \(c\) auch Vektoren sind. Angenommen alle Variablen sind 'irgendwelche' Größen, die multipliziert und addiert werden können. Dann hast Du doch folgende Aufgabe:$$\begin{pmatrix} x + ξ ·b\\cT x + ξ\\ \end{pmatrix} = M \cdot \begin{pmatrix} x\\ξ\\ \end{pmatrix}$$Hier ist nach \(M\) gefragt. Und da \(M\) zwei Zeilen hat (wg. der linken Seite) und zwei Spalten (wg. der rechten Seite), ist \(M\) ganz allgemein eine \(2\times 2\)-Matrix$$M=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}$$Und nun schreibe doch mal die erste Zeile dieser Matrizenmultiplkation ausführlich hin:$$\begin{aligned} x + ξ\cdot b &= \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ξ\\ \end{pmatrix}\\ x + ξ\cdot b&= a_{1,1}\cdot x + a_{1,2}\cdot ξ \end{aligned}$$Und was muss denn nun \(a_{1,1}\) und was \(a_{1,2}\) sein, damit diese Gleichung für jedes \(x\) und für jedes \(ξ\) erfüllt ist?

b, c ∈ ℝⁿ ... sei dabei x∈ℝ und ξ∈ℝ

das kann nicht sein! In der ersten Zeile steht$$x + ξ ·b$$\(ξ ·b\) wäre dann \((ξb)\in\mathbb R^n\) und \(x\in\mathbb R\). Das kann man nicht addieren!

Wenn \(x\in\mathbb R^n\) wäre, dann passt alles und meine Antwort auch.

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Danke für die ausführliche Erklärung.

Es hilft mir wirklich weiter :) !

Ich merke gerade, dass ich bei der Angabe einen Fehler gemacht habe. das T war für c transponiert also c^T aber das ändert ja nicht wirklich das Ergebnis.

Ich habe noch eine weitere Klausuraufgabe ,dich ich dann versuche selber zu lösen mithilfe Ihrer Erklärung.

Ich würde mein Ansatz auch hier später posten falls Sie die Zeit und Lust haben drüber zu schauen.

Ich bedanke mich vielmals noch mal für Ihre Hilfe ! in

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Hallo,

der Beitrag ist etwas her, aber hier wäre noch eine Aufgabe mit meiner Antwort.

Sei n ∈ N, n ≥ 5 und a,b ∈ R. Betrachten Sie die Abbildung

f : ℝ^n -> ℝ^n,

                               n-1

f_i(x) = a(x₁ + x_n)+ b * ∑ x_j                  falls i = 1 ∨ i = n

                               j = 2

      n

      ∑     x_j                                     falls i ∈ { 2, ... , n - 1}

     j = 1

Sorry wegen dem Summenzeichen. Es hat irgendwie nicht funktioniert, sobald ich j tiefgestellt habe. Ich hoffe Sie können es verstehen.

Geben Sie die darstellende Matrix M von f im Fall n = 5 an

Meine Antwort :

f₁(x) = a ( x₁+ x₁ ) + b

f₂(x) = x₁+ x₂  

f₃(x) = x₁+ x₂ + x₃

f₄(x) = x₁+ x₂ + x₃ + x₄

f₅(x) = a ( x₁+ x₅ ) + b * ( x₂+ x₃ + x₄)

	x1	x2	x3	x4	x5
f1	2a+b
f2	1	1
f3	1	1	1
f4	1	1	1	1
f5	a	b	b	b	a

\( \begin{pmatrix} 2*a+b & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 &  1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 &1 & 0 \\ a & b & b & b & a \end{pmatrix} \)

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$$f_1=(2a+b)x_1 \ne x_1 - x_{n+1} $$Die Matrix muss auch dann gelten, wenn sich \(x_{n+1}\) ändert!

Geben Sie die darstellende Matrix M von f im Fall n = 5 an

Im Falle von \(n=5\) ist es eine 6x6-Matrix.

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Das verstehe ich jetzt nicht ganz.

Ich dachte es ist eine Rⁿ --> Rⁿ Funktionen und nicht n+1.

Wieso ist es jetzt eine 6x6 Matrix anstatt eine 5x5 Matrix?

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Evtl. Verwechslung der Aufgabenstellung?

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Die Aufgabenstellung hier ist (s.o.):

Gegeben: Lineare Abbildung \(f\):$$f:\space R^{n+1}\to R^{n+1}\\f_1(x)=x_1 − x_{n+1},\quad f_i(x)=x_i − a_{i-1}\cdot x_{i-1} \quad (i=2,\dots,n+1) $$

Du schriebst:

Ich dachte es ist eine \(R^n\to R^n\) Funktionen und nicht n+1.

doch \(n+1\)

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Das war die alte Aufgabe, die Sie auch wunderbar erklärt haben.

Die neue war

Hallo,

der Beitrag ist etwas her, aber hier wäre noch eine Aufgabe mit meiner Antwort.

Sei n ∈ N, n ≥ 5 und a,b ∈ R. Betrachten Sie die Abbildung

f : ℝn -> ℝn,

                            n-1

fi(x) = a(x1 + xn)+ b * ∑ xj                 falls i = 1 ∨ i = n

                            j = 2

    n

    ∑    xj                                   falls i ∈ { 2, ... , n - 1}

  j = 1

Sorry wegen dem Summenzeichen. Es hat irgendwie nicht funktioniert, sobald ich j tiefgestellt habe. Ich hoffe Sie können es verstehen.

Geben Sie die darstellende Matrix M von f im Fall n = 5 an.

Tut mir leid, wegen dem Missverständnis.

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Stelle für eine neue Aufgabe einfach eine neue Frage. Das spart Arbeit ;-)

Deine Abbildung lese ich als:$$f: \space \mathbb R^n \to \mathbb R^n\\ f_i(x) = \begin{cases} a(x_1+x_n) + b\sum\limits_{j=2}^{n-1}x_j &\text{falls }&i=1 \lor i=n \\ \sum\limits_{j=1}^{n} x_j&\text{falls }& i\in \{2,\,\dots,\,n-1\} \end{cases}$$Dann stimmt aber Deine 'Lösung' nicht!

Du kanst das kopieren, wenn Du es noch benötigst.

Answer 2

In der i-ten Spalte der Matrix stehen die Faktoren, die man zur

Darstellung des Bildes des i-ten Basisvektors braucht.

Bei der kanonischen Basis für Original und Bild ist die erste Spalte also das

Bild des 1. Basisvektors etc. Also etwa so:

Die f_i in der Definition sind ja wohl die Komponenten des Bildes. Also so

\( f( \vec{x}) = f(\begin{pmatrix} x_1\\ \dots \\ x_{n+1} \end{pmatrix})  = \begin{pmatrix} f_1(\vec{x})\\ \dots \\ f_{n+1}(\vec{x}) \end{pmatrix}\)

Da nichts über die zu benutzenden Basen gesagt ist, also wohl die kanonische Basis.

Für den 1. Basisvektor  \( \vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix} \) wäre also das Bild

\( \begin{pmatrix} f_1(\vec{e_1})\\ \dots \\ f_{n+1}(\vec{e_{n+1}}) \end{pmatrix}\) .

Nun ist  \(   f_1(\vec{e_1}) = x_1 - x_{n+1} = 1-0 = 1 \)

und   \(  f_2(\vec{e_1}) = x_2 -a_ 1 \cdot x_{1} = 0-a_1  \)

und    \(  f_3(\vec{e_1}) = x_3 -a_ 2 \cdot x_{2} = 0-a_2 \cdot 0 = 0  \)

etc. gibt es Nullen. Also

\( \begin{pmatrix} f_1(\vec{e_1})\\ \dots \\ f_{n+1}(\vec{e_{n+1}}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ -a_1 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix}\) .

Das wäre also die 1. Spalte der gesuchten Matrix.

In der Art kannst du auch die anderen Spalten ausrechnen.

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Danke für die verständliche Hilfe !

Answer 3

bitte schön

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Lebensretter omg

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immer gern wenn du hilfe brauchst sag bescheid