Zunächst einmal ausmultiplizieren. Der hintere Summand mit cos wird immer 0 aufgrund der Periodizität. Habe dann die 3 vor die Summe gezogen und beide Summen so umgeschrieben, dass ich die geometrische Reihe anwenden konnte. Vorher musste ich allerdings noch den Wert -1 für k einsetzen, da die geometrische Reihe ja bei 0 beginnt.
\( \sum \limits_{k=-1}^{\infty} \frac{3}{4^{k}}-\sum \limits_{k=-1}^{\infty} \frac{1}{2^k}-\sum \limits_{k=-1}^{\infty}(-1)^{k} \cos \left(2 \pi k+\frac{\pi}{2}\right) \)
\( =3 \cdot \sum \limits_{k=-1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}-\sum \limits_{k=-1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{kb} \)
\( =3 \cdot\left(4+\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\right)-\left(2+\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\right) \)
\( =3 \cdot\left(4+\frac{4}{3}\right)-(2+2) \)
\( =3 \cdot \frac{16}{3}-4 \)
\( =12 \)
