Treppenfunktion definieren

Question

Für jede natürliche Zahl n≥1 definieren wir die folgende Treppenfunktion φ_n ∈ T[0,1]:

φ_n (x)= 0, falls 0≤x<1-1/n

n, falls 1-1/n≤x<1

0, falls x=1 ist.

a) Bestimmen Sie für jedes n∈N

∫(von 0 bis 1) φ_n (x) dx

b) Bestimmen Sie für jedes x∈[0,1]

lim für n-> ∞ φ_n (x)

c) Die Teilaufgaben a und b widerlegen eine Aussage. Welche?

Answer 1

Am besten zeichnest du dir das für n=2,3,4 etc mal auf.
Der Graph besteht immer nur aus einer einzigen Säule
der Breite 1/n und der Höhe n.

Dann ist die Treppenfunktion immer eine, die über dem Intervall
von 1 - 1/n    bis 1 den Wert n annimmt und sonst 0 ist.
also z.B. für n=2:    Wert 2 von 1/2 bis 1
für n=3:    Wert 3 von 2/3 bis 1
für n=4:    Wert 4 von 3/4 bis 1
etc.
Das sind also immer Intervalle der Länge 1/n
und der Funktionswert ist n.
Also sind die Integrale immer alle gleich 1

Die Folge der Treppenfunktionen konvergiert für jedes x aus [0;1[
gegen 0 nur für x=1 nicht, da es in jeder Umgebung von 1 immer ein x=1-1/n gibt,
bei dem dann der Funktionswert gleich n ist.

widerlegte Aussage ??????   Jede Folge von Treppenfunktionen mit gegen Null
konvergierender Stufenbreite konvergiert aud ihrem Definitionsbereich .

Comments

könntest du vielleicht zeigen wie die Säulen  aussehen ?

---

Gegen was konvergiert die Funktion denn für x=1?

---

Die Funktion ist dann nur noch Bereich von 1-0 bis 1 =n  alles andere ist 0