Finde alle nat. Zahlen n>= 2, für die n^5+4*n-35 eine Primzahl ist.

Question

Bei der Aufgabe im Titel habe ich erst einmal für n bis 8 die Ergebnisse ausgerechnet und festgestellt, dass die Zahlen alle auf 5 oder 0 enden. Demnach dürfte nur die 2 als Antwort gelten, da dies die einzige Primzahl ist. Meine Frage: Wie beweise ich das allgemein und ist mein Ansatz korrekt?

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Hi, versuche zu zeigen, dass für alle n

n^5+4*n-35  ≡   0   mod 5

gilt, oder, was gleichbedeutend damit ist, dass

5 | n^5+4*n-35

gilt.

Answer 1

Du hast doch schon richtig angefangen. Man kann doch jetzt versuchen zu zeigen dass der Term immer durch 5 teilbar ist.

Vermutung n^5 + 4·n - 35 ist durch 5 teilbar

Induktionsanfang n = 1

1^5 + 4·1 - 35 = -30 ---> Stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1

(n + 1)^5 + 4·(n + 1) - 35

n^5 + 5·n^4 + 10·n^3 + 10·n^2 + 9·n - 30

(n^5 + 4·n - 35) + (5·n^4 + 10·n^3 + 10·n^2 + 5·n + 5)

Der erste Teil ist durch den Induktionsanfrang bewiesen. beim Zweiten Teil sieht man, dass man 5 ausklammern kann. Daher ist 5 immer ein Teiler.

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Wow vielen Dank für die schnelle Antwort.  :)

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Sehr schöne Lösung um diese noch leicht zu ergänzen bzw. die ursprüngliche Frage zu beantworten. 2 ist die einzige Primzahl auf die das zutrifft. Setzt man 2 in die Gleichung ein so erhält man 5. 5 ist eine Primzahl.Viel Erfolg bei b2 und vielen dank =).

Answer 2

Die Teilbarkeit von \(n^5+4n-35\) durch \(5\) lässt sich elegant, einfach und allgemein so zeigen:
$$ n^5+4n-35 \equiv \ldots \equiv \left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right) \equiv 0 \mod 5.$$